Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 238 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

T
?
(f
n
)
T
?
T
T
?
T
??
: B
??
1
7→ B
??
2
{x
n
} ⊂ b(0 , 1) ⊂ B
1
J
J : B
1
7→ B
??
1
.
∀(n , m > N()) kT (x
n
) − T (x
m
) | B
2
k =
kT
??
(J(x
n
)) − T
??
(J(x
m
)) | B
??
2
k < ,
{x
n
}
T
??
(J(x
n
))
T
??
{J(x
n
)} ⊂ b(0 , 1) ⊂ B
??
1
B
0
B B\B
0
6= ∅. > 0
B x
kxk = 1, (x , B
0
) > 1 − .
y ∈ B \ B
0
(y , B
0
) = α > 0
z ∈ B
0
kz −yk < (1 + )α.
x = (z − y)/kz − yk.
kxk = 1
∀(z
0
∈ B
0
) : kx − z
0
k = kz − yk
−1
kz −kz − ykz
0
− yk ≥
α
(1 + )α
> 1 − .
÷òî è äîêàçûâàåò ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè T ? (fn ).
   Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî îïåðàòîð T ? êîìïàêòåí è äîêàæåì, ÷òî îïå-
ðàòîð T êîìïàêòåí.
   Åñëè îïåðàòîð T ? êîìïàêòåí, òî â ñèëó òîëüêî ÷òî äîêàçàííîãî ñâîé-
ñòâà îïåðàòîð
                           T ?? : B1?? 7→ B2??
êîìïàêòåí. Ïóñòü {xn } ⊂ b(0 , 1) ⊂ B1 è J -îïðåäåëåííîå ôîðìóëîé (3.68)
(ñì. ñòð. 178) èçîìåòðè÷åñêîå âëîæåíèå:

                                  J : B1 7→ B1?? .

Òîãäà

                  ∀(n , m > N ()) kT (xn ) − T (xm ) | B2 k =
                  kT ?? (J(xn )) − T ?? (J(xm )) | B2?? k < ,

åñëè òîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } âûáðàíà òàê, ÷òî ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü T ?? (J(xn )) ñõîäèòñÿ, ÷òî ìîæíî ñäåëàòü â ñèëó êîìïàêòíîñòè îïå-
ðàòîðà T ?? è âêëþ÷åíèÿ {J(xn )} ⊂ b(0 , 1) ⊂ B1?? . Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé (èëè ëåììîé ) Ðèññà î ïî-
÷òè ïåðïåíäèêóëÿðå. Ýòà òåîðåìà íå èñïîëüçóåò ïîíÿòèå êîìïàêòîñòè,
íî íà íåé îñíîâàíî äîêàçàòåëüñòâî ÷àñòî èñïîëüçóåìîé òåîðåìû Ðèññà
î êîìïàêòíîñòè åäèíè÷íîãî øàðà â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå è ìíîãèõ
äðóãèõ òåîðåì î êîìïàêòíûõ îïåðàòîðàõ.
Òåîðåìà 3.8.2. Ïóñòü B        0 -çàìêíóòîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî áàíà-
õîâà ïðîñòàíñòâà    B   è   B\B0 6= ∅. Òîãäà äëÿ ëþáîãî  > 0 â ïðîñòðàíñòâå
B   ñóùåñòâóåò òàêîé        âåêòîð x, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ:

                        kxk = 1,    dist(x ,   B0 ) > 1 − .            (3.215)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü y ∈ B \ B0 . Òîãäà dist(y , B0 ) = α > 0 è ñóùå-
ñòâóåò òàêîé âåêòîð z ∈ B0 , ÷òî

                               kz − yk < (1 + )α.

Ïóñòü
                               x = (z − y)/kz − yk.
Òîãäà kxk = 1 è

         ∀(z 0 ∈ B0 ) : kx − z 0 k = kz − yk−1 kz − kz − ykz 0 − yk ≥
             α
                   > 1 − .
         (1 + )α

                                        226

Страницы