Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 239 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

B
B
{e
1
, . . .} ⊂ B
B
n
= Cl( {e
1
. . . , e
n
}).
B
n
⊂ B
(n+1)
B
(n+1)
\ B
n
6= ∅
y
n
∈ B
(n+1)
ky
n
k = 1, (y
n
, B
n
) > 1/2.
{y
n
}
n
B
n
= B
(n+1)
(λid−T ) T
B
??
= B.
B
B K(B 7→ B)
K(B 7→ B) ⊂ L(B 7→ B).
T λ 6= 0
Im(λid − T )
Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Ñëåäóþùàÿ íèæå òåîðåìà è åñòü óïîìèíàâøàÿñÿ òåîðåìà Ðèññà î
êîìïàêòíîñòè åäèíè÷íîãî øàðà.

Òåîðåìà 3.8.3. Åñëè â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå B çàìûêàíèå åäèíè÷-
íîãî øàðà åñòü êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî, òî áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî        B
êîíå÷íîìåðíî.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {e1 , . . .} ⊂ B -ëèíåéíî-íåçàâèñèìûå âåêòîðû,
íîðìà êîòîðûõ ðàâíà åäèíèöå,

                           Bn = Cl(span{e1 . . . , en }).

Òîãäà Bn ⊂ B(n+1) , è åñëè B(n+1) \ Bn 6= ∅, òî ñîãëàñíî ïðåäûäóùåé
òåîðåìå ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð yn ∈ B(n+1) , ÷òî

                      kyn k = 1, dist(yn , Bn ) > 1/2.

Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yn } áåñêîíå÷íà, òî ýòî áóäåò òàêàÿ ïðèíàä-
ëåæàùàÿ çàìûêàíèþ åäèíè÷íîãî øàðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, èç êîòîðîé
íåëüçÿ èçâëå÷ü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ïîýòîìó åñëè åäè-
íè÷íûé øàð êîìïàêòåí, òî íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà n äîëæíî áûòü
âûïîëíåíî ðàâåíñòâî Bn = B(n+1) . Òåîðåìà äîêàçàíà.


3.8.2    Òåîðèÿ Ðèññà-Øàóäåðà.

Òåîðèÿ Ðèññà-Øàóäåðà îïèñûâàåò ðåçîëüâåíòó êîìïàêòíîãî îïåðàòîðà
è óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó îáëàñòüþ çíà÷åíèé è ÿäðîì îïåðàòîðà
(λid−T ) â òîì ñëó÷àå, åñëè îïåðàòîð T êîìïàêòåí. Ýòè ðåçóëüòàòû áóäóò
ïîäûòîæåíû íàìè â òåîðåìå 3.8.5.
    Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå íàìè áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî
ðåôëåêñèâíî:
                                B ?? = B.
   Íà÷íåì ìû ñ äîêàçàòåëüñòâà íåñêîëüêèõ ëåìì.  äàëüíåéøåì ìíî-
æåñòâî êîìïàêòíûõ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ èç ïðîñòðàíñòâà B â ïðî-
ñòðàíñòâî B ìû îáîçíà÷èì ñèìâîëîì K(B 7→ B). ßñíî, ÷òî

                           K(B 7→ B) ⊂ L(B 7→ B).

Ëåììà 3.8.4. Åñëè T -êîìïàêòíûé îïåðàòîð è λ 6= 0, òî ïðîñòðàíñòâî
Im(λid − T )   çàìêíóòî.


                                        227

Страницы