Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 240 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

y
n
∈ Im(λid − T ) , y
n
→ y
0
, n → ∞.
y
0
∈ Im(λid − T ).
y
n
= (λid − T )(x
n
).
α
n
= (x
n
, Ker(λid − T )),
w
n
w
n
∈ Ker(λid − T ) , α
n
≤ kx
n
− w
n
k ≤ (1 + 1/n)α
n
.
z
n
= x
n
− w
n
.
α
n
≤ const α
n
→ ∞
z
n
= (1/λ)(y
n
+ T z
n
) , kz
n
k ≤ const.
T T z
n
T z
n
z
0
= (y
0
+ T z
0
)/λ,
y
0
∈ Im(λid − T ).
α
n
→ ∞
ξ
n
= z
n
/kz
n
k.
kξ
n
k = 1 T ξ
n
ξ
n
ξ
n
→ ξ
0
,
λξ
0
= T ξ
0
.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

                  yn ∈ Im(λid − T ) , yn → y0 , n → ∞.

Íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî

                            y0 ∈ Im(λid − T ).

Ïóñòü
                           yn = (λid − T )(xn ).
Ïîëîæèì
                     αn = dist(xn , Ker(λid − T )),
è ïóñòü ýëåìåíòû wn âûáðàíû òàê, ÷òî

          wn ∈ Ker(λid − T ) , αn ≤ kxn − wn k ≤ (1 + 1/n)αn .

Ïîëîæèì
                              zn = xn − wn .
Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ: αn ≤ const è αn → ∞.
    ïåðâîì ñëó÷àå ìû èìååì:

                  zn = (1/λ)(yn + T zn ) , kzn k ≤ const.        (3.216)

Òàê êàê îïåðàòîð T êîìïàêòåí, èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè T zn ìîæíî èç-
âëå÷ü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Äëÿ ïðîñòîòû ìîæíî ñ÷è-
òàòü, ÷òî ñõîäèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü T zn . Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ïðåäû-
äóùåì ðàâåíñòâå, ìû ïîëó÷àåì:

                           z0 = (y0 + T z0 )/λ,

Ñëåäîâàòåëüíî,
                            y0 ∈ Im(λid − T ).
Òåïåðü ìû ïîêàæåì, ÷òî âòîðîé ñëó÷àé íåâîçìîæåí. Ïóñòü αn → ∞ è

                              ξn = zn /kzn k.

Òîãäà kξn k = 1, è ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü T ξn
ñõîäèòñÿ. Òîãäà èç (3.216) ñëåäóåò, ÷òî è ñàìà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξn
ñõîäèòñÿ:
                               ξn → ξ0 ,                      (3.217)
ïðè÷åì
                               λξ0 = T ξ0 .

                                   228

Страницы