Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 241 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

kξ
n
− ξ
0
k = kx
n
− w
n
k
−1
kx
n
− w
n
− (kx
n
− w
n
k)ξ
0
k ≥
kx
n
− w
n
k
−1
(x
n
, Ker(λid − T )) ≥
α
n
(1 + 1/n)α
n
→ 1 , n → ∞.
ξ
0
ξ
n
T λ 6= 0
Im(λid − T ) = B,
Ker(λid − T ) = 0.
T
N
k
= Ker(λid − T )
k
, k = 1 , . . . .
N
k
∀k : N
k
⊂ N
(k+1)
.
N
1
6= 0,
x
1
, x
2
x
1
6= 0 , (λid − T )x
1
= 0 , (λid − T )x
2
= x
1
.
(λid − T )x
2
6= 0 , (λid − T )
2
x
2
= 0,
x
2
6∈ N
1
, x
2
∈ N
2
, N
2
\ N
1
6= 0.
∀k : N
(k+1)
\ N
k
6= 0.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû,

           kξn − ξ0 k = kxn − wn k−1 kxn − wn − (kxn − wn k)ξ0 k ≥
           kxn − wn k−1 dist(xn , Ker(λid − T )) ≥
                αn
                         → 1 , n → ∞.
           (1 + 1/n)αn

Ýòî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ ýëåìåíòà ξ0 êàê ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè ξn . Ëåììà äîêàçàíà.

Ëåììà 3.8.5. Åñëè T -êîìïàêòíûé îïåðàòîð, λ 6= 0 è
                              Im(λid − T ) = B,                      (3.218)

òî
                              Ker(λid − T ) = 0.                     (3.219)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíî ðàâåíñòâî (3.218), à
ðàâåíñòâî (3.219) íå âûïîëíåíî. Äîêàæåì, ÷òî ýòî ïðîòèâîðå÷èò êîì-
ïàêòíîñòè îïåðàòîðà T .
   Ïîëîæèì
                    Nk = Ker(λid − T )k , k = 1 , . . . .
Êàæäîå èç ïðîñòðàíñòâ Nk çàìêíóòî è

                               ∀k : Nk ⊂ N(k+1) .                    (3.220)

 ñèëó ñäåëàííûõ íàìè ïðåäïîëîæåíèé

                                    N1 6= 0,

è ñóùåñòâóþò òàêèå âåêòîðû x1 , x2 , ÷òî

                 x1 6= 0 , (λid − T )x1 = 0 , (λid − T )x2 = x1 .

Íî òîãäà
                     (λid − T )x2 6= 0 , (λid − T )2 x2 = 0,
Ñëåäîâàòåëüíî,
                       x2 6∈ N1 , x2 ∈ N2 , N2 \ N1 6= 0.
Ìû ìîæåì ïðîäîëæèòü íàøå ïîñòðîåíèå è ïîëó÷èì, ÷òî â (3.220) âñå
âêëþ÷åíèÿ -ñòðîãèå:
                     ∀k : N(k+1) \ Nk 6= 0.

                                       229

Страницы