Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 242 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

{y
k
}
ky
k
k = 1 , y
k
∈ N
k
, (y
k
, N
(k−1)
) > 1/2.
T y
n
− T y
m
= λ[y
n
− (y
m
− ((λid − T )y
m
− (λid − T )y
n
)/λ)],
∀(n > m) : y
m
− ((λid − T )y
m
− (λid − T )y
n
)/λ ∈ N
(n−1)
,
∀(n > m) : kT y
n
− T y
m
k ≥ |λ| (y
n
, N
n−1
) = |λ|/2.
T y
n
T
T
Ker(λid − T ) = 0,
Im(λid − T ) = B.
Cl(Im(λid − T )
?
) = B
?
.
T
?
Cl(Im(λid − T )
?
) = Im(λid − T )
?
) = B
?
.
Ker(λid − T )
?
= 0.
Im(λid − T ) = Cl(Im(λid − T )) = B.
 ñèëó òåîðåìû Ðèññà î ïî÷òè-ïåðïåíäèêóëÿðå 3.8.2 (ñì. ñòð. 226) ñóùå-
ñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yk }, ÷òî

                kyk k = 1 , yk ∈ Nk , dist(yk , N(k−1) ) > 1/2.

Äàëå ìû çàìå÷àåì, ÷òî

       T yn − T ym = λ[yn − (ym − ((λid − T )ym − (λid − T )yn )/λ)],
       ∀(n > m) : ym − ((λid − T )ym − (λid − T )yn )/λ ∈ N(n−1) ,

ïîýòîìó

          ∀(n > m) : kT yn − T ym k ≥ |λ|dist(yn , Nn−1 ) = |λ|/2.

Ìû âèäèì, ÷òî èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè T yn íåëüçÿ èçâëå÷ü ñõîäÿùåéñÿ
ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò êîìïàêòíîñòè îïåðàòîðà T .
Ëåììà äîêàçàíà.

Ëåììà 3.8.6. Åñëè îïåðàòîð T êîìïàêòåí è
                             Ker(λid − T ) = 0,                         (3.221)

òî
                             Im(λid − T ) = B.                          (3.222)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó òåîðåìû 3.4.8 (ñì. ñòð. 181) èç óñëîâèÿ (3.221)
ñëåäóåò ðàâåíñòâî
                       Cl(Im(λid − T )? ) = B ? .
Òàê êàê â ñèëó òåîðåìû Øàóäåðà îïåðàòîð T ? êîìïàêòåí, òî èç ëåììû
3.8.4 ñëåäóåò, ÷òî

                Cl(Im(λid − T )? ) = Im(λid − T )? ) = B ? .

Âîñïîëüçîâàâøèñü ëåììîé 3.8.5, ìû ïîëó÷àåì:

                            Ker(λid − T )? = 0.

Íà îñíîâå òåîðåìû 3.4.8 îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

                  Im(λid − T ) = Cl(Im(λid − T )) = B.

Ëåììà äîêàçàíà.
  Èç ëåìì 3.8.6 è 3.8.5 ñëåäóåò

                                     230

Страницы