Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 243 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

T λ 6= 0
Ker(λid − T ) = 0
Im(λid − T ) = B.
T λ 6= 0
Ker(λid − T ) 6= 0,
(λid − T )
−1
∈ L(B 7→ B).
T L
{x
j
, 1 ≤ j ≤ n}
∀j : x
j
6= 0 , λ
j
x
j
= T (x
j
) ; (j 6= k) ⇒ (λ
j
6= λ
k
),
{x
j
}
X
1≤j≤n
α
j
x
j
= 0.
Ëåììà 3.8.7. Åñëè îïåðàòîð T êîìïàêòåí è λ 6= 0, òî
                                Ker(λid − T ) = 0

â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè


                                Im(λid − T ) = B.

     Èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ è òåîðåìû Áàíàõà 3.3.6 (ñì. ñòð. 168) ñëåäóåò

Òåîðåìà 3.8.4. Åñëè îïåðàòîð T êîìïàêòåí è λ 6= 0, òî ëèáî
                                Ker(λid − T ) 6= 0,                   (3.223)

ëèáî
                            (λid − T )−1 ∈ L(B 7→ B).                 (3.224)

    Óòâåðæäåíèå òåîðåìû 3.8.4 íàçûâàåòñÿ àëüòåðíàòèâîé Ôðåäãîëüìà.
Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ (3.223) òðèâèàëüíà: åñëè ýòî óñëîâèå íå âûïîëíå-
íî, òî îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííîãî îïåðàòîðà (3.224) íå ñóùåñòâóåò. Íåòðè-
âèàëüíàÿ ÷àñòü òåîðåìû 3.8.4 ñîñòîèò â òîì, ÷òî óñëîâèå (3.223) äîñòà-
òî÷íî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îïåðàòîðà (3.224).
    Èç òåîðåìû 3.8.4 ñëåäóåò, ÷òî îòëè÷íûå îò íóëÿ òî÷êè ñïåêòðà êîìï-
êàòíîãî îïåðàòîðà åñòü åãî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è òîëüêî ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ åñòü îòëè÷íûå îò íóëÿ îñîáûå òî÷êè ðåçîëüâåíòû êîìïàêòíîãî
îïåðàòîðà.
    Èçó÷èì ýòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ.
    Íàïîìíèì îäèí ðåçóëüòàò èç ëèíåéíîé àëãåáðû.

Ëåììà 3.8.8. Åñëè T -ëèíåéíûé îïåðàòîð â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L
è   {xj , 1 ≤ j ≤ n}   -ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ, êîòîðûå óäîâëåòâî-
ðÿþò óðàâíåíèÿì


           ∀j : xj 6= 0 , λj xj = T (xj ) ; (j 6= k) ⇒ (λj 6= λk ),   (3.225)

òî âåêòîðû     {xj }   ëèíåéíî íåçàâèñèìû.

     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
                                   X
                                          αj xj = 0.                  (3.226)
                                  1≤j≤n


                                          231

Страницы