Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 245 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

β
n
n
6= 0,
y
n
6∈ L
(n−1)
.
w
j
= y
j
/λ
j
.
n > m
T (w
n
) − T (w
m
) =
β
n
n
x
n
+ z
n
= y
n
+ v
n
; v
n
∈ L
(n−1)
, z
n
∈ L
(n−1)
.
kT (w
n
) − T (w
m
)k ≥ (y
n
, L
(n−1)
) ≥ 1/2.
∀j : |λ
j
| ≥ const. > 0,
∀n : kw
n
k < const. < ∞,
T
T w
n
T
Ker(λ
0
id − T ) 6= 0,
λ
0
R(λ , T )
(Ker(λ
0
id − T )) < ∞.
P (λ
0
)
P (λ
0
) =
1
2πi
I
l
R(λ , T )dλ, l = {λ | |λ − λ
0
| = δ}.
Çàìåòèì, ÷òî îáÿçàòåëüíî âûïîëíåíî íåðàâåñòâî

                                        βnn 6= 0,

òàê êàê
                                     yn 6∈ L(n−1) .
Ïîëîæèì
                                     wj = yj /λj .
Ïóñòü n > m. Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü

                T (wn ) − T (wm ) =
                βnn xn + zn = yn + vn ; vn ∈ L(n−1) , zn ∈ L(n−1) .

Èç ýòîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî

                 kT (wn ) − T (wm )k ≥ dist(yn , L(n−1) ) ≥ 1/2.             (3.227)

Åñëè
                                ∀j : |λj | ≥ const. > 0,
òî
                           ∀n : kwn k < const. < ∞,
à ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî îïåðàòîð T êîìïàêòåí, òàê êàê â ñèëó
(3.227) èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè T wn íåëüçÿ èçâëå÷ü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòü.
    Ëåììà äîêàçàíà.
    Èç ëåìì 3.8.9 è 3.8.8 âûòåêàåò

Ëåììà 3.8.10. Åñëè T -êîìïàêòíûé îïåðàòîð è
                                 Ker(λ0 id − T ) 6= 0,                       (3.228)

òî   λ0   -èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà ðåçîëüâåíòû            R(λ , T )   è

                           dim(Ker(λ0 id − T ))       < ∞.

   Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (3.228). Ïóñòü P (λ0 ) -ñïåêòðàëüíûé ïðîåê-
òîð:                     I
                      1
           P (λ0 ) =       R(λ , T )dλ, l = {λ | |λ − λ0 | = δ}.
                     2πi
                            l


                                          233

Страницы