Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 246 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x ∈ Ker(λ
0
id − T ) (λid − T )x = (λ − λ
0
)x
R(λ , T )x = (λ − λ
0
)
−1
x , P (λ
0
)x = x,
Ker(λ
0
id − T ) ⊂ Im(P (λ
0
)).
P
?
(λ
0
) =
1
2πi
I
l
R(λ , T
?
)dλ, l = {λ | |λ − λ
0
| = δ},
(Im(P (λ
0
))) = (Im(P
?
(λ
0
))) < ∞,
(Ker(λ
0
− T )) = (Ker(λ
0
− T
?
))
R(λ , T ) =
1
λ
(id + T R(λ , T )),
P (λ
0
) =
1
2πi
I
l
1
λ
R(λ , T )dλ
T.
P (λ
0
)
Im(P (λ
0
))
Im(P (λ
0
)) P (λ
0
)
Im(P (λ
0
))
Im(P (λ
0
))
Im(P (λ
0
)) = {e
1
, . . . , e
n
}.
Im(P (λ
0
))
f
(j)
: < f
(j)
| e
k
>= δ
j
k
, 1 ≤ j ≤ n
Åñëè x ∈ Ker(λ0 id − T ), òî (λid − T )x = (λ − λ0 )x, è

                   R(λ , T )x = (λ − λ0 )−1 x , P (λ0 )x = x,


ïîýòîìó

                   Ker(λ0 id − T ) ⊂ Im(P (λ0 )).

(Âñïîìíèì âêëþ÷åíèå (3.169) íà ñòð. 206).

Ëåììà 3.8.11. Ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
                        I
                   1
          ?
        P (λ0 ) =           R(λ , T ? )dλ, l = {λ | |λ − λ0 | = δ},   (3.229)
                  2πi
                        l
                       = dim(Im(P ? (λ0 ))) < ∞,
        dim(Im(P (λ0 )))                                              (3.230)
                                            ?
        dim(Ker(λ0 − T )) = dim(Ker(λ0 − T ))                         (3.231)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàâåíñòâî (3.229) ñëåäóåò èç òåîðåìû 3.4.9 (ñì. ñòð.
183).
   Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                                      1
                        R(λ , T ) =     (id + T R(λ , T )),
                                      λ
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
                                                         
                                          I
                                     1        1
                    P (λ0 ) =                  R(λ , T )dλ T.
                                    2πi       λ
                                          l

Ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîð P (λ0 ) åñòü ïðîèçâåäåíèå îãðàíè÷åííîãî îïåðà-
òîðà è êîìïàêòíîãî è ïîýòîìó êîìïàêòåí. Òàê êàê ïðîñòðàíñòâî Im(P (λ0 ))
çàìêíóòî è èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî èçîìåòðè÷íîãî â ïðîñòðàíñòâå
Im(P (λ0 )) êîìïàêòíîãî îïåðàòîðà P (λ0 ), òî åäèíè÷íûé øàð â ïðîñòðàí-
ñòâå Im(P (λ0 )) êîìïàêòåí è â ñèëó òåîðåìû Ðèññà 3.8.3 (ñì. ñòð. 227)
ïðîñòðàíñòâî Im(P (λ0 )) êîíå÷íîìåðíî.
   Ïóñòü
                     Im(P (λ0 )) = span{e1 , . . . , en }.
Íà ïðîñòðàíñòâå Im(P (λ0 )) îïðåäåëèì ëèíåéíûå ôóíêöèîíàëû

                      f (j) : < f (j) | ek >= δkj , 1 ≤ j ≤ n         (3.232)

                                          234

Страницы