Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 247 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

B
∀(x ∈ Im(P (λ
0
))) : x =
X
1≤j≤n
f
(j)
(x) < f | e
j
> .
∀(f ∈ Im(P
?
(λ
0
))) : < P
?
(λ
0
)f | x >=< f | P(λ
0
)(x) >=
X
1≤j≤n
f
(j)
(x)e
j
,
(∀f ∈ Im(P
?
(λ
0
))) : f =
X
1≤j≤n
< f | e
j
> f
(j)
.
{f
(j)
, 1 ≤ j ≤ n}
Im(P
?
(λ
0
))
(Ker(λ
0
id −T ))
a
(j)
k
=< f
(j)
| (λ
0
[id] − T )(e
k
) >,
(Ker(λ
0
id − T
?
))
{a
(j)
k
}
T
T
?
λ
0
6= 0
Ker(λ
0
id − T ) = 0,
Ker(λ
0
id − T
?
) = 0,
(λ
0
− T )
−1
∈ L(B 7→ B) , (λ
0
id − T
?
)
−1
∈ L(B
?
7→ B
?
)
λ
0
6= 0
Ker(λ
0
id − T ) 6= 0,
λ
0
R(λ , T ) R(λ , T
?
)
(Im(P (λ
0
))) = (Im(P
?
(λ
0
))) < ∞,
(Ker(λ
0
id − T )) = (Ker(λ
0
id − T
?
)),
Im(λ
0
id − T ) = N(Ker(λ
0
id − T
?
)).
è ðàñïðîñòðàíèì èõ (èñïîëüçóÿ òåîðåìó Õàíà-Áàíàõà) íà âñå ïðîñòðàí-
ñòâî B .
   Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                                     X
            ∀(x ∈ Im(P (λ0 ))) : x =   f (j) (x) < f | ej > .
                                                   1≤j≤n

Ñëåäîâàòåëüíî,
                                                                           X
∀(f ∈ Im(P ? (λ0 ))) : < P ? (λ0 )f | x >=< f | P (λ0 )(x) >=                      f (j) (x)ej ,
                                                                           1≤j≤n

è
                                  X
(∀f ∈ Im(P ? (λ0 ))) : f =                < f | ej > f (j) .
                                  1≤j≤n

Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîðû {f (j) , 1 ≤ j ≤ n} ñîñòàâëÿþò áàçèñ â ïðîñòðàí-
ñòâå Im(P ? (λ0 )) è âûïîëíåíî ðàâåíñòâî (3.230).
   Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî ÷èñëî dim(Ker(λ0 id − T )) åñòü äåôåêò ìàòðèöû
                            (j)
                           ak =< f (j) | (λ0 [id] − T )(ek ) >,
à ÷èñëî dim(Ker(λ0 id − T ? )) åñòü äåôåêò ìàòðèöû, òðàíñïîíèðîâàííîé
            (j)
ê ìàòðèöå {ak }. Êàê èçâåñòíî, ýòè äåôåêòû ñîâïàäàþò.
   Ëåììà äîêàçàíà.
   Ïîäûòîæèì ïîëó÷åííûå íàìè ðåçóëüòàòû.
Òåîðåìà 3.8.5. Ïóñòü îïåðàòîð T êîìïàêòåí. Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëå-
äóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
     1. Îïåðàòîð     T ? êîìïàêòåí.
     2. Åñëè   λ0 6= 0 è
                               Ker(λ0 id − T ) = 0,
òî
                                   Ker(λ0 id − T ? ) = 0,
è
             (λ0 − T )−1 ∈ L(B 7→ B) , (λ0 id − T ? )−1 ∈ L(B ? 7→ B ? )
3. Åñëè    λ0 6= 0   è
                                   Ker(λ0 id − T ) 6= 0,
òî   λ0   -ïîëþñ ðåçîëüâåíò       R(λ , T )    è   R(λ , T ? ),   ïðè÷åì

                     dim(Im(P (λ0 ))) = dim(Im(P ? (λ0 ))) < ∞,
                                                              ?
                     dim(Ker(λ0 id − T )) = dim(Ker(λ0 id − T )),
                     Im(λ0 id − T ) = N (Ker(λ0 id − T ? )).

                                              235

Страницы