Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 248 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

D
C
1
D
D 3 µ 7→ K(µ) ∈ L(B 7→ B),
∀µ : K(µ) ∈ K(B 7→ B).
(id − K(µ))
D D
φ(µ)
D 3 µ 7→ r(µ) ∈ K(B 7→ B) , D 3 µ 7→ a(µ) ∈ L(B 7→ B),
∀(φ(µ) 6= 0) : (id − K(µ))
−1
=
1
φ(µ)
r(µ) + a(µ),
(Im(r(µ))) ≤ const. < ∞, Im(r(µ))
\
Im(a(µ)) = 0.
λ = 1
R(λ , K(µ))
µ ∈ D
   Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå åñòü íàïîìèíàíèå òåîðåìû 3.4.8 (ñì. ñòð. 181).
   Áëèçêîå ïî ñìûñëó óòâåðæäåíèå ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå ñëåäóþùåé
íèæå òåîðåìû, êîòîðàÿ åñòü ñëåäñòâèå òåîðåì 3.8.5 è 3.7.4 è èíîãäà íà-
çûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé òåîðåìîé Ôðåäãîëüìà.

Òåîðåìà 3.8.6. Ïóñòü D -îòêðûòàÿ ñâÿçíàÿ îáëàñòü â ïëîñêîñòè êîì-
ïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî     C1 .   Ïóñòü â îáëàñòè   D   çàäàíà àíàëèòè÷åñêàÿ
ôóíêöèÿ
                       D 3 µ 7→ K(µ) ∈ L(B 7→ B),
çíà÷åíèÿ êîòîðîé åñòü êîìïàêòíûå îïåðàòîðû:

                           ∀µ : K(µ) ∈ K(B 7→ B).

Òîãäà ëèáî îïåðàòîð   (id − K(µ))    íå îáðàòèì íè â îäíîé òî÷êå îáëàñòè
D, ëèáî â îáëàñòè D   ñóùåñòâóåò òàêàÿ íå ðàâíàÿ òîæäåñòâåííî íóëþ
àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ      φ(µ)    è òàêèå àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè

         D 3 µ 7→ r(µ) ∈ K(B 7→ B) , D 3 µ 7→ a(µ) ∈ L(B 7→ B),

÷òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

                                                1
              ∀(φ(µ) 6= 0) : (id − K(µ))−1 =        r(µ) + a(µ),
                                               φ(µ)
ïðè÷åì
                                                    \
          dim(Im(r(µ)))   ≤ const. < ∞ , Im(r(µ))       Im(a(µ)) = 0.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü ÷òî òî÷êà λ = 1 ìîæåò áûòü
òîëüêî èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êîé ðåçîëüâåíòû R(λ , K(µ)) è îòâå÷à-
þùèé ýòîé îñîáîé òî÷êå ñïåêòðàëüíûé ïðîåêòîð êîíå÷íîìåðåí, à çàòåì
ïðèìåíèòü òåîðåìó 3.7.4 â êàæäîé òî÷êå µ ∈ D.


3.9      Ðåçîëüâåíòà è ñïåêòð íåîãðàíè÷åííûõ îïå-

         ðàòîðîâ.

Äî ñèõ ïîð âñå îïåðàòîðû â áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ ìû ñ÷èòàëè ëèíåé-
íûìè îãðàíè÷åííûìè (à ïîòîìó è íåïðåðûâíûìè) îïåðàòîðàìè, îáëàñòü
îïðåäåëåíèÿ êîòîðûõ ñîâïàäàåò ñî âñåì ïðîñòðàíñòâîì. Òåïåðü ìû ïåðå-
õîäèì ê èçó÷åíèþ áîëåå îáùåé ñèòóàöèè: ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òàêèå
ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ, îáëàñòü îïåðäåëåíèÿ êîòîðûõ åñòü íå ñîâïàäàþ-
ùåå ñî âñåì ïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå, à ñàìè îòîáðàæåíèÿ

                                      236

Страницы