Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 249 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

B
1
B
2
Dom(A) ⊂ B
1
B
1
A : Dom(A) 7→ B
2
∀(α ∈ C
1
, β ∈ C
1
, x ∈ Dom(A) , y ∈ Dom(A)) :
A(αx + βy) = αA(x) + βA(y).
Dom(A
1
) 6= Dom(A
2
),
A
1
: Dom(A
1
) 7→ B
2
, A
2
: Dom(A
2
) 7→ B
2
Dom(A
1
)
T
Dom(A
2
).
A
1
A
2
Dom(A
1
)
T
Dom(A
2
) 6= ∅
Dom(A
1
+ A
2
) := Dom(A
1
)
\
Dom(A
2
),
(∀x ∈ Dom(A
1
+ A
2
)) : (A
1
+ A
2
)(x) := A
1
(x) + A
2
(x).
Ker(A) = {x | x ∈ Dom(A) , A(x) = 0}.
R(λ , A)
1.Dom(R(λ , A)) = Im(λid − A) , Im(R(λ , A)) = Dom(λid − A))
2.Ker(λid −A) = 0 , Cl(Im(λid − A)) = B,
3. sup{kR(λ , A)xk | x ∈ Im(λid −A) , kxk ≤ 1} < ∞;
4.∀(x ∈ Im(λid − A)): (λid −A)R(λ , A)x = x,
5.∀(x ∈ Dom(λid − A)): R(λ , A)(λid − A)x = x.
íå îãðàíè÷åíû íà ñâîåé îáëàñòè îïåðäåëåíèÿ. Ïåðåõîäèì ê òî÷íûì ôîð-
ìóëèðîâêàì.
   Ïóñòü B1 è B2 -áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà, Dom(A) ⊂ B1 -ëèíåéíîå ìíî-
ãîîáðàçèå (íå îáÿçàòåëüíî çàìêíóòîå) â ïðîñòðàíñòâå B1 .
Îïðåäåëåíèå 3.9.1. Îòîáðàæåíèå
                            A : Dom(A) 7→ B2
ìû íàçûâàåì ëèíåéíûì îòîáðàæåíèåì (ëèíåéíûì îïåðàòîðîì), åñëè
            ∀(α ∈ C1 , β ∈ C1 , x ∈ Dom(A) , y ∈ Dom(A)) :
            A(αx + βy) = αA(x) + βA(y).
   Åñëè
                          Dom(A1 ) 6= Dom(A2 ),
òî äâà îïåðàòîðà
                A1 : Dom(A1 ) 7→ B2 , A2 : Dom(A2 ) 7→ B2
ìû áóäåì ñ÷èòàòü ðàçíûìè îïåðàòîðàìè,   äàæå åñëè èõ çíà÷åíèÿ ñîâïà-
äàþò íà ìíîæåñòâå Dom(A1 ) Dom(A2 ).
                            T
   Óìíîæåíèå íåîãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà íà ÷èñëî êîìåíòàðèåâ íå òðå-
áóåò, à ñóììó äâóõ íåîãðàíè÷åííûõ Tîïåðàòîðîâ A1 è A2 ìû îïðåäåëÿåì
òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè Dom(A1 ) Dom(A2 ) 6= ∅:
                                    \
          Dom(A1 + A2 ) := Dom(A1 ) Dom(A2 ),
          (∀x ∈ Dom(A1 + A2 )) : (A1 + A2 )(x) := A1 (x) + A2 (x).
   ßäðî íåîãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
                 Ker(A) = {x | x ∈ Dom(A) , A(x) = 0}.
Îïðåäåëèì ðåçîëüâåíòó íåîãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà.
Îïðåäåëåíèå 3.9.2. Îïåðàòîð R(λ , A) íàçûâàåòñÿ ðåçîëüâåíòîé îïå-
ðàòîðà , åñëè
   1.Dom(R(λ , A)) = Im(λid − A) , Im(R(λ , A)) = Dom(λid − A))
                                                            (3.233)
   2.Ker(λid − A) = 0 , Cl(Im(λid − A)) = B,                         (3.234)
   3. sup{kR(λ , A)xk | x ∈ Im(λid − A) , kxk ≤ 1} < ∞;              (3.235)
   4.∀(x ∈ Im(λid − A)) : (λid − A)R(λ , A)x = x,                    (3.236)
   5.∀(x ∈ Dom(λid − A)) : R(λ , A)(λid − A)x = x.                   (3.237)

                                    237

Страницы