Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 250 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

(λid − A)R(λ , A)x = x
R(λ , A) ∈ L(B 7→ B)
A : Dom(A) 7→ B,
1.Ker(λid − A) = 0 , Im(λid − A) = B,
2. Dom(A) ⊃ Im(R(λ , A)),
3. ∀(x ∈ B) : (λid − A)R(λ , A)x = x,
4. ∀(x ∈ Dom(A)) : R(λ , A)(λid − A)x = x.
A
(A) := {λ | ∃R(λ , A)}.
σ(A) A
σ(A) = C( (A)).
{x
n
} ∈ B
kx
n
k = 1 , y
n
= (λid − A)x
n
→ 0,
λ ∈ σ(A)
   Ýòî îïðåäåëåíèå ñîãëàñóåòñÿ ñ äàííûìè ïðåæäå îïðåäåëåíèÿìè ðå-
çîëüâåíòû ýëåìåíòà áàíàõîâîé àëãåáðû è ðåçîëüâåíòû îãðàíè÷åííîãî
îïåðàòîðà, íî ñ ïîíÿòèåì ðåçîëüâåíòû íåîãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà íóæ-
íî áûòü âíèìàòåëüíûì. Â ñèëó óñëîâèÿ (3.235) ðåçîëüâåíòà ïî íåïðå-
ðûâíîñòè ïðîäîëæàåòñÿ íà âñå ïðîñòðàíñòâî, íî íà ýòîì ïðîäîëæåíèè
ìîæåò íå áûòü âûïîëíåíî ðàâåñòâî (λid − A)R(λ , A)x = x.
   Ìû ïðèìåì ñëåäóþùåå
Îïðåäåëåíèå 3.9.3. Îïåðàòîð
                           R(λ , A) ∈ L(B 7→ B)
íàçûâàåòñÿ ðåçîëüâåíòîé íåîãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà

                             A : Dom(A) 7→ B,
åñëè

                 1.Ker(λid − A) = 0 , Im(λid − A) = B,        (3.238)
                 2. Dom(A) ⊃ Im(R(λ , A)),                    (3.239)
                 3. ∀(x ∈ B) : (λid − A)R(λ , A)x = x,        (3.240)
                 4. ∀(x ∈ Dom(A)) : R(λ , A)(λid − A)x = x.   (3.241)

   Â ðàññìàòðèâàåìûõ íàìè ïðèëîæåíèÿõ (ðåçîëüâåíòà èíôèíèòåçèìàëü-
íîãî îïåðàòîðà è ðåçîëüâåíòà ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà) îáà îïðåäå-
ëåíèÿ ñîâïàäàþò. Ïî óìîë÷àíèþ, ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ òîëüêî âòîðûì
îïðåäåëåíèåì.
Îïðåäåëåíèå 3.9.4. Ðåçîëüâåíòíûì ìíîæåñòâîì res(A) íåîãðàíè÷åí-
íîãî îïåðàòîðà A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, äëÿ
êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ðåçîëüâåíòà:

                         res(A) := {λ | ∃R(λ , A)}.

Ñïåêòðîì σ(A) íåîãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà A íàçûâàåòñÿ äîïîëíåíèå ðå-
çîëüâåíòíîãî ìíîæåñòâà:

                             σ(A) = C(res(A)).
     ×àñòî áûâàåò ïîëåçíà ñëåäóþùàÿ
Ëåììà 3.9.1. Åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {x } ∈ B,
                                                              n
÷òî
                      kxn k = 1 , yn = (λid − A)xn → 0,       (3.242)
òî   λ ∈ σ(A).

                                    238

Страницы