Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 251 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

λ ∈ (A) R(λ , A)
x
n
= R(λ , a)y
n
, 1 = kx
n
k ≤ kR(λ , a)k · ky
n
k,
λ A
R(λ , A)
λ L(B 7→ B)
R(λ , A) − R(µ , A) = −(λ − µ)R(λ , A)R(µ , A).
λ ∈ (A)
R(µ , A) ∈ L(B 7→ B)
(id − (λ − µ)R(λ , A))R(µ , A) = R(λ , A).
|λ − µ| < kR(λ , A)k
−1
R(µ , A) =
X
0≤n<∞
((λ − µ)R(λ , A))
n
!
R(λ , A),
µ
{µ | |λ − µ| < kR(λ , A)k
−1
}.
A
Im(R(µ , A)) ⊂ Dom(A).
(λid − A)
(λid − A)R(µ , A) = id − (µ − λ)R(µ , A),
   Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè λ ∈ res(A), òî ñóùåñòâóåò îïåðàòîð R(λ , A), è
èç (3.242) ñëåäóåò, ÷òî

               xn = R(λ , a)yn , 1 = kxn k ≤ kR(λ , a)k · kyn k,

÷òî ïðîòèâîðå÷èò (3.242). Ëåììà äîêàçàíà.
    Ñôîðìóëèðîâàííûé â äàííîé ëåììå êðèòåðèé ïðèíàäëåæíîñòè òî÷êè
λ ñïåêòðó îïåðàòîðà A èíîãäà íàçûâàåòñÿ êðèòåðèåì (ïðèçíàêîì) Âåéëÿ,
à óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ (3.242) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü -ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ
Âåéëÿ.

Ëåììà 3.9.2. 1. Ðåçîëüâåíòíîå ìíîæåñòâî îòêðûòî. Ðåçîëüâåíòà R(λ , A)
àíàëèòè÷íà íà ñâîåì ðåçîëüâåíòíîì ìíîæåñòâå êàê ôóíêöèÿ ïàðà-
ìåòðà    λ ñî çíà÷åíèÿìè â L(B 7→ B) è óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó Ãèëü-
áåðòà:

           R(λ , A) − R(µ , A) = −(λ − µ)R(λ , A)R(µ , A).         (3.243)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü λ ∈ res(A). Ðàññìîòðèì ðàâåíñòâî (3.243) êàê
óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîãî îïåðàòîðà R(µ , A) ∈ L(B 7→ B):

                 (id − (λ − µ)R(λ , A))R(µ , A) = R(λ , A).        (3.244)

   Ïðè
                           |λ − µ| < kR(λ , A)k−1
óðàâíåíèå (3.244) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
                                             !
                      X
        R(µ , A) =         ((λ − µ)R(λ , A))n R(λ , A),            (3.245)
                        0≤n<∞

è ýòî ðåøåíèå àíàëèòè÷íî ïî µ â êðóãå

                        {µ | |λ − µ| < kR(λ , A)k−1 }.

Äîêàæåì, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.244) åñòü ðåçîëüâåíòà îïåðàòîðà A.
  Èç (3.243) ñëåäóåò, ÷òî

                         Im(R(µ , A)) ⊂ Dom(A).

Óìíîæàÿ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (3.243) ñëåâà íà (λid − A), ìû ïîëó÷àåì:

                 (λid − A)R(µ , A) = id − (µ − λ)R(µ , A),

                                     239

Страницы