Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 252 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

(µid − A)R(µ , A) = id.
(λid − A)x
R(µ , A)(λid − A)x = x + (λ − µ)R(µ , A)x,
∀(x ∈ Dom(A)) : R(µ , A)(µid − A)x = x.
Dom(A
1
) = Dom(A
2
) , λ ∈ (A
1
)
\
(A
2
) , (A
1
− A
2
) ∈ L(B 7→ B),
R(λ , A
1
) − R(λ , A
2
) = R(λ , A
1
)(A
1
− A
2
)R(λ , A
2
),
R(λ , A
1
) − R(λ , A
2
) = R(λ , A
2
)(A
1
− A
2
)R(λ , A
1
).
∀(x ∈ Dom(A
1
)) : (λid − A
2
)x − (λid − A
1
)x = (A
1
− A
2
)x.
x → R(λ , A
1
)x
R(λ , A
2
)
x → R(λ , A
2
)x
R(λ , A
2
)
∃(λ ∈ C
1
) : R(λ , A
1
) = R(λ , A
2
),
A
1
= A
2
.
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
                           (µid − A)R(µ , A) = id.
Àíàëîãè÷íî, ïðèìåíÿÿ ðàâåíñòâî (3.243) ê ýëåìåíòó (λid − A)x, ìû ïî-
ëó÷àåì:
              R(µ , A)(λid − A)x = x + (λ − µ)R(µ , A)x,
à îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

                 ∀(x ∈ Dom(A)) : R(µ , A)(µid − A)x = x.

Ëåììà äîêàçàíà.

Ëåììà 3.9.3. Åñëè
                                        \
 Dom(A1 ) = Dom(A2 ) , λ ∈ res(A1 )         res(A2 )   , (A1 − A2 ) ∈ L(B 7→ B),

òî ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà

        R(λ , A1 ) − R(λ , A2 ) = R(λ , A1 )(A1 − A2 )R(λ , A2 ),         (3.246)
        R(λ , A1 ) − R(λ , A2 ) = R(λ , A2 )(A1 − A2 )R(λ , A1 ).         (3.247)

   Ðàâåíñòâà (3.247)-(3.246) åñòü äâå ôîðìû çàïèñè âòîðîãî ðåçîëüâåíò-
íîãî òîæäåñòâà (óðàâíåíèÿ). Ïåðâûì ðåçîëüâåíòíûì òîæäåñòâîì (óðàâ-
íåíèåì) íàçûâàþò òîæäåñòâî Ãèëüáåðòà.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:

     ∀(x ∈ Dom(A1 )) : (λid − A2 )x − (λid − A1 )x = (A1 − A2 )x.         (3.248)

 (3.248) ñäåëàåì çàìåíó

                               x → R(λ , A1 )x

è óìíîæèì ñëåâà íà R(λ , A2 ). Ïîëó÷èì (3.246). Àíàëîãè÷íî, ñäåëàâ çà-
ìåíó
                           x → R(λ , A2 )x
è óìíîæèâ ñëåâà íà R(λ , A2 ), ïîëó÷èì (3.247). Ëåììà äîêàçàíà.

Ëåììà 3.9.4. Åñëè
                     ∃(λ ∈ C1 ) : R(λ , A1 ) = R(λ , A2 ),                (3.249)

òî
                                   A1 = A2 .

                                      240

Страницы