Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 253 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(x ∈ Dom(A
1
)) : x = R(λ , A
2
)(λid − A
1
)x.
Dom(A
1
) ⊂ Dom(A
2
)
(λid − A
2
)x = (λid − A
2
)R(λ , A
2
)(λid − A
1
)x = (λid − A
1
)x.
A : B
1
⊃ Dom(A) 7→ B
2
Gr(A) = {x ⊕ Ax | x ∈ Dom(A)},
B
1
⊕B
2
B
1
B
2
L ⊂ B
1
⊕ B
2
L
x ⊕ y ∈ L , x
0
⊕ y
0
∈ L , x = x
0
y = y
0
.
L
\
(0 ⊕ B
2
) = 0 ⊕ 0.
A
B
1
⊕ B
2
B
1
⊃ Dom(A) B
2
⊃ Im(A)
Cl(A)
A Cl(A)
A
Gr(Cl(A)) = Cl(Gr(A)).
    Äîêàçàòåëüñòâî. Èç (3.249) ñëåäóåò, ÷òî

               ∀(x ∈ Dom(A1 )) : x = R(λ , A2 )(λid − A1 )x.

Ñëåäîâàòåëüíî,

       Dom(A1 ) ⊂ Dom(A2 )

è

       (λid − A2 )x = (λid − A2 )R(λ , A2 )(λid − A1 )x = (λid − A1 )x.

Îïðåäåëåíèå 3.9.5. Ãðàôèêîì ëèíåéíîãî îïåðàòîðà
                          A : B1 ⊃ Dom(A) 7→ B2

íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî

                    Gr(A) = {x ⊕ Ax | x ∈ Dom(A)},

ðàññìàòðèâàåìîå êàê ïîäïðîñòðàíñòâî ïðÿìîé ñóììû B1 ⊕ B2 áàíàõîâûõ
ïðîñòðàíñòâ B1 è B2 .

   Ìíîæåñòâî L ⊂ B1 ⊕ B2 åñòü ãðàôèê ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â òîì è
òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè, âî-ïåðâûõ, L åñòü ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå è,
âî-âòðûõ, èç óñëîâèé

                      x ⊕ y ∈ L , x 0 ⊕ y 0 ∈ L , x = x0

ñëåäóåò, ÷òî
                                   y = y0.
Ïîñëåäíåå óñëîâèå äëÿ ëèíåéíîãî ìíîãîîáðàçèÿ ýêâèâàëåíòíî òðåáîâà-
íèþ:                     \
                       L (0 ⊕ B2 ) = 0 ⊕ 0.                 (3.250)

Îïðåäåëåíèå 3.9.6. Îïåðàòîð A íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè åãî ãðà-
ôèê çàìêíóò êàê ïîäïðîñòðàíñòâî ïðÿìîé ñóììû B1 ⊕ B2 áàíàõîâûõ
ïðîñòðàíñòâ B1 ⊃ Dom(A) è B2 ⊃ Im(A).

Îïðåäåëåíèå 3.9.7. Îïåðàòîð Cl(A) íàçûâàåòñÿ çàìûêàíèåì îïåðàòî-
ðà A, åñëè ãðàôèê îïåðàòîðà Cl(A) åñòü çàìûêàíèå ãðàôèêà îïåðàòîðà
A:
                                def
                      Gr(Cl(A)) = Cl(Gr(A)).

                                     241

Страницы