Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 254 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
Cl(Gr(A))
\
(0 ⊕ B
2
) = 0 ⊕ 0,
A Cl(A)
Dom(Cl(A)) =
1
(Cl(Cr(A)),
∀(x ⊕ y ∈ Cl(Cr(A))) : Cl(A)(x) = y.
Cl(Gr(A))
Cl(A) A
Cl(Gr(A)) Cl(Gr(A))
1
y
y
2
B
1
Cl(A)
−−−→ B
2
j
B
1
⊕ B
2
B
j
Gr(A) ⊂ Cl(Gr(A)),
Dom(A) ⊂ Dom(Cl(A)) , ∀(x ∈ Dom(A)) : Ax = Cl(A)(x).
Dom(A)
B
1
⊃
Dom(A)
B = L
2
(R
1
, dx);
Dom(A) = {f | f(x) ∈ L
2
(R
1
, dx) , x
2
f(x) ∈ L
2
(R
1
, dx)};
A : Dom(A) 7→ L
2
(R
1
, dx) , Af(x) = x
2
f(x).
   Çàìûêàíèå ãðàôèêà îïåðàòîðà A íå îáÿçàòåëüíî óäîâëåòâîðÿåò óñëî-
âèþ (3.250), ïîýòîìó çàìûêàíèå ãðàôèêà îïåðàòîðà íå îáÿçàòåëüíî åñòü
ãðàôèê êàêîãî-íèáóäü îïåðàòîðà, íî î÷åâèäíà
Ëåììà 3.9.5. Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå
                                  \
                      Cl(Gr(A))    (0 ⊕ B2 ) = 0 ⊕ 0,                   (3.251)

òî îïåðàòîð   A   èìååò çàìûêàíèå   Cl(A):

                   Dom(Cl(A)) = Pr1 (Cl(Cr(A)),
                   ∀(x ⊕ y ∈ Cl(Cr(A))) : Cl(A)(x) = y.                 (3.252)

    Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà çàìåòèì, ÷òî â ñèëó óñëîâèÿ (3.251) ñîîòíîøåíèå
(3.252) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò îïåðàòîð, ãðàôèê êîòîðîãî åñòü çàìêíó-
òîå ìíîæåñòâî Cl(Gr(A)).
    Òàêèì îáðàçîì, çàìûêàíèå Cl(A) îïåðàòîðà A -ýòî îïåðàòîð, êîòîðûé
äåëàåò êîììóòàòèâíîé ñëåäóþùóþ äèàãðàììó:
                      Cl(Gr(A))             Cl(Gr(A))
                                               
                       Pr1 y
                                               Pr
                                                y 2
                                    Cl(A)
                          B1       −−−→        B2
ãäå Prj -îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ ïðÿìîé ñóììû B1 ⊕ B2 íà ñëàãàåìîå
Bj .
     Òàê êàê
                         Gr(A) ⊂ Cl(Gr(A)),
òî
      Dom(A) ⊂ Dom(Cl(A)) , ∀(x ∈ Dom(A)) : Ax = Cl(A)(x).
Çàìåòèì, ÷òî îáëàñòü îïåðäåëåíèÿ Dom(A) çàìêíóòîãî îïåðàòîðà ìîæåò
íå áûòü çàìêíóòûì ïîäïðîñòðàíñòâîì â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå B1 ⊃
Dom(A) è îáëàñòü îïåðäåëåíèÿ çàìûêàíèÿ îïåðàòîðà ìîæåò íå áûòü
çàìûêàíèåì îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ èñõîäíîãî îïåðàòîðà.
   Â äàëüíåéøåì îïåðàòîð è åãî çàìûêàíèå, êàê ïðàâèëî, ìû áóäåì îáî-
çíà÷àòü îäíèì è òåì æå ñèìâîëîì.
   Ðàññìîòðèì ïðèìåðû.
   Ïóñòü

       B = L2 (R1 , dx);
       Dom(A) = {f | f (x) ∈ L2 (R1 , dx) , x2 f (x) ∈ L2 (R1 , dx)};
       A : Dom(A) 7→ L2 (R1 , dx) , Af (x) = x2 f (x).

                                    242

Страницы