Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 256 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
f ∈ Dom(A) , kfk = 1.
√
nf(nx) ∈ Dom(A) , k
√
nf(n·)k = 1,
kA
√
nf(n·)k > const.n → ∞ , n → ∞.
z = x + iy ∈ C
1
, B = {f(z) |
Z
|f(z)|
2
exp(−|z|
2
)dxdy < ∞}.
Dom(A) = {f | f(z) ∈ B , |z|f(z) ∈ B},
A : Dom(A) → B , Af(z) = zf(z).
A (A) = ∅
σ(A) = C
1
du
dt
= Lu , t > 0 ; u(+0) = u
0
.
L u
0
Îïåðàòîð A íåîãðàíè÷åí. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü

                         f ∈ Dom(A) , kf k = 1.

Òîãäà           √                       √
                    nf (nx) ∈ Dom(A) , k nf (n·)k = 1,
íî                √
                kA nf (n·)k > const.n → ∞ , n → ∞.
   Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð äèô-
ôåðåíöèðîâàíèÿ ñâîäèòñÿ (ïîçæå ìû óòî÷íèì, â êàêîì èìåííî ñìûñëå) ê
îïåðàòîðó óìíîæåíèÿ íà íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ, ïîýòîìó ðàññìîòðåí-
íûå íàìè ïðèìåðû, ïî-ñóùåñòâó, åñòü ðàçíûå ðåäàêöèè ïðèìåðà îäíîãî
è òîãî æå îïåðàòîðà.
   Ïóñòü
                                   Z
      z = x + iy ∈ C , B = {f (z) | |f (z)|2 exp(−|z|2 )dxdy < ∞}.
                    1



Ïîëîæèì

               Dom(A) = {f | f (z) ∈ B , |z|f (z) ∈ B},
               A : Dom(A) → B , Af (z) = zf (z).

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ðåçîëüâåíòíîå ìíîæåñòâî
îïåðàòîðà A ïóñòî: res(A) = ∅, è ñïåêòð îïåðàòîðà ñîâïàäàåò ñî âñåé
êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþ: σ(A) = C1 .


3.10      Ïîëóãðóïïû îïåðàòîðîâ â áàíàõîâîì ïðî-

          ñòðàíñòâå.

Òåîðèÿ ïîëóãóïï îïåðàòîðîâ â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå âîçíèêëà ïðè
èçó÷åíèè óðàâíåíèé âèäà

                      du
                         = Lu , t > 0 ; u(+0) = u0 .         (3.253)
                      dt
Îäíà èç îñíîâíûõ çàäà÷ òåîðèè ñîñòîèò â îòâåòå íà âîïðîñ, ïðè êàêèõ
óñëîâèÿõ íà îïåðàòîð L è íà÷àëüíûå äàííûå u0 óðàâíåíèå (3.253) èìå-
åò ðåøåíèå è ýòî ðåøåíèå åäèíñòâåííî. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îòâåò íà ýòè
âîïðîñû ìîæíî äàòü â òåðìèíàõ íåêîòîðûõ ñâîéñòâ íåîãðàíè÷åííûõ îïå-
ðàòîðîâ, ñ ýëåìåíòàìè òåîðèè êîòîðûõ ìû òîëüêî ÷òî ïîçíàêîìèëèñü.

                                   244

Страницы