Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 257 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

T (t) : R
1
+
3 t 7→ T (t) ∈ L(B 7→ B)
C
0
1. ∀(t
1
∈ R
1
+
, t
2
∈ R
1
+
) : T (t
1
)T (t
2
) = T (t
1
+ t
2
).
2. T (0) = id ∈ L(B 7→ B).
3. (∀x ∈ B) R
1
+
3 t 7→ T (t)(x) ∈ B
[0 , ∞)
R
1
3 t 7→ T (t) ∈ L(B 7→ B)
C
0
T (t) C
0
∀(t > 0) : sup{kT (τ)k | τ ≤ t} < C(t) < ∞
T (t)
L(B 7→ B)
x ∈ B t 7→ kT (t)xk [0 , ∞)
∀(t > 0 , x ∈ B) : sup{kT (τ)xk | τ ≤ t} = C(x) < ∞.
sup{kT (τ)k | τ ≤ t} ≤ C(t) < ∞.
T (t) C
0
M < ∞, ω < ∞
∀(t > 0) : kT (t)k < M exp(ωt).
Îïðåäåëåíèå 3.10.1. Ôóíêöèÿ
                    T (t) : R1+ 3 t 7→ T (t) ∈ L(B 7→ B)

íàçûâàåòñÿ ïîëóãðóïïîé êëàññà C0 , åñëè

            1. ∀(t1 ∈ R1+ , t2 ∈ R1+ ) : T (t1 )T (t2 ) = T (t1 + t2 ).
            2. T (0) = id ∈ L(B 7→ B).
            3. (∀x ∈ B) ôóíêöèÿ R1+ 3 t 7→ T (t)(x) ∈ B

íåïðåðûâíà íà [0 , ∞).

   Ïîëóãðóïïîé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ R1 3 t 7→ T (t) ∈ L(B 7→ B), êîòî-
ðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1 è 2. Òåðìèí C0 óòî÷íÿåò óñëîâèå 3 íåïðå-
ðûâíîñòè ýòîé ôóíêöèè. Èíîãäà óñëîâèå 3 ôîðìóëèðóåòñÿ â áîëåå ñëàáîé
ôîðìå, êîòîðóþ ìû çäåñü íå ðàññìàòðèâàåì.

Ëåììà 3.10.1. Åñëè T (t) -ïîëóãðóïïà êëàññà C , òî îíà îãðàíè÷åíà ïî
                                                          0
íîðìå íà ëþáîì ôèêñèðîâàííîì èíòåðâàëå:

               ∀(t > 0) : sup{kT (τ )k | τ ≤ t} < C(t) < ∞

(ïîä íîðìîé îïðåðàòîðà     T (t)   çäåñü è íèæå ìû ïîíèìàåì åãî íîðìó â
ïðîñòðàíñòâå   L(B 7→ B)).

  Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèÿ 3 îïðåäåëåíèÿ 3.10.1 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ
ëþáîãî x ∈ B ôóíêöèÿ t 7→ kT (t)xk íåïðåðûâíà íà [0 , ∞), ïîýòîìó

          ∀(t > 0 , x ∈ B) : sup{kT (τ )xk | τ ≤ t} = C(x) < ∞.

Îòñþäà è èç òåîðåìû Áàíàõà-Øòåéíãàóçà 3.3.2 (ñì. ñòð. 160) ñëåäóåò,
÷òî
                  sup{kT (τ )k | τ ≤ t} ≤ C(t) < ∞.
Ëåììà äîêàçàíà.
  Ñëåäñòâèåì ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ

Ëåììà 3.10.2. Åñëè T (t) -ïîëóãðóïïà êëàñà C , òî ñóùåñòâóþò òàêèå
                                                      0
êîíñòàíòû   M < ∞ , ω < ∞,         ÷òî

                      ∀(t > 0) : kT (t)k < M exp(ωt).                     (3.254)

                                         245

Страницы