Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 258 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

t = n + δ , 0 ≤ δ < 1.
kT (t)k = kT (n)T (δ)k ≤
kT (1)
n
k ·kT(δ)k ≤ kT(1)k
n
· kT (δ)k ≤
sup{kT (τ)k | τ ≤ 1}exp(t ln kT (1)k).
t 7→ kT (t)k
T (t) C
0
A
h
(x) =
1
h
(T (h)x −x).
Dom(A) := {x | ∃ lim
h→+0
A
h
(x)},
∀(x ∈ Dom(A)) : A(x) = lim
h→+0
A
h
(x).
T (t)
A T (t)
T (t) A
A T (t)
x ∈ Dom(A)
(0 , ∞) 3 t 7→ T (t)x
dT (t)x
dt
= AT (t)x.
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

                            t = n + δ , 0 ≤ δ < 1.

Òîãäà

                   kT (t)k = kT (n)T (δ)k ≤
                   kT (1)n k · kT (δ)k ≤ kT (1)kn · kT (δ)k ≤
                   sup{kT (τ )k | τ ≤ 1} exp(t ln kT (1)k).

Ëåììà äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå    3.10.1. Î ñâîéñòâàõ ãëàäêîñòè ôóíêöèè

                                  t 7→ kT (t)k

ìû ñåé÷àñ íè÷åãî ñêàçàòü íå ìîæåì: èç íàøèõ ðàññóæäåíèé íå ñëåäóåò
äàæå èçìåðèìîñòü ýòîé ôóíêöèè.
     Ïóñòü T (t) -ïîëóãðóïïà êëàññà C0 è

                                      1
                           Ah (x) =     (T (h)x − x).
                                      h
Ïîëîæèì

                   Dom(A) := {x | ∃ lim Ah (x)},                (3.255)
                                        h→+0

                   ∀(x ∈ Dom(A)) : A(x) = lim Ah (x).           (3.256)
                                                 h→+0


Îïðåäåëåíèå 3.10.2. Îïðåäåëåííûé ðàâåíñòâîì (3.256) îïåðàòîð íà-
çûâàåòñÿ èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì ïîëóãðóïïû T (t).

   Åñëè A -èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð ïîëóãðóïïû T (t), òî ãîâîðÿò,
÷òî ïîëóãðóïïà T (t) ïîðîæäåíà èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì A.

Ëåììà 3.10.3. Åñëè A -èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð ïîëóãðóïïû T (t)
è   x ∈ Dom(A),   òî ôóíêöèÿ

                             (0 , ∞) 3 t 7→ T (t)x

äèôôåðåíöèðóåìà è
                              dT (t)x
                                      = AT (t)x.
                                dt

                                      246

Страницы