Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 259 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(x ∈ Dom(A) , δt > 0) :
(T (t + δt) − T (t))x
δt
=
T (δt) − id
δt
T (t)x = T (t)
T (δt) − id
δt
x
→
AT (t)x = T (t)Ax , δt → 0,
(T (t − δt) − T (t))x
(−δt)
= T (t − δt)
T (δt) − id
δt
x
→= T (t)Ax.
A
T (t) C
0
1. Dom(A) = B,
2. kT (t) − idk → 0 , t → +0,
3. ∃(A ∈ L(B 7→ B)) : T (t) = exp(tA).
1 → 2 x ∈ B
sup{k(T (h) − id)/hk | 0 < h < h
0
} = C < ∞,
kT (h) − idk ≤ Ch → 0 , h → 0.
2 → 3 > 0
∀(t < ) : kT (t) − idk < 1/2.
σ(T (t)) ⊂ b(1 , 1/2) ⊂ C
1
,
ln(z) b(1 , 1/2)
∀(0 < t < ) : V (t) = ln T (t).
0 < nt <
V (nt) = ln T (nt) = ln(T (t)
n
) = nV (t).
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                                       (T (t + δt) − T (t))x
          ∀(x ∈ Dom(A) , δt > 0) :                            =
                                              δt     
            T (δt) − id                    T (δt) − id
                          T (t)x = T (t)               x →
                 δt                            δt
          AT (t)x = T (t)Ax , δt → 0,
                                                            
          (T (t − δt) − T (t))x                 T (δt) − id
                                = T (t − δt)                x →= T (t)Ax.
                  (−δt)                             δt
Ëåììà äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå 3.10.2. Èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð åñòü ïðàâàÿ ïðîèçâîä-
íàÿ ïîëóãðóïïû â íóëå. Â ëåììå 3.10.3 óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ñóùåñòâóåò
îáû÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ.

Òåîðåìà 3.10.1. Åñëè A -èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð ïîëóãðóïïû
T (t)   êëàññà   C0 ,   òî ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:

                         1. Dom(A) = B,
                         2. kT (t) − idk → 0 , t → +0,
                         3. ∃(A ∈ L(B 7→ B)) : T (t) = exp(tA).

   Äîêàçàòåëüñòâî.
   1 → 2. Åñëè ïðåäåë (3.255) ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîãî x ∈ B , òî â ñèëó
òåîðåìû Áàíàõà-Øòåéíãàóçà

                    sup{k(T (h) − id)/hk | 0 < h < h0 } = C < ∞,

ïîýòîìó
                            kT (h) − idk ≤ Ch → 0 , h → 0.
2 → 3. Ïóñòü  > 0 âûáðàíî òàê, ÷òî

                              ∀(t < ) : kT (t) − idk < 1/2.

Òîãäà
                               σ(T (t)) ⊂ b(1 , 1/2) ⊂ C1 ,
è òàê êàê ôóíêöèÿ ln(z) àíàëèòè÷íà â êðóãå b(1 , 1/2), òî îïðåäåëåí îïå-
ðàòîð
                     ∀(0 < t < ) : V (t) = ln T (t).
Åñëè 0 < nt < , òî

                         V (nt) = ln T (nt) = ln(T (t)n ) = nV (t).

                                            247

Страницы