Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 260 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

V (t/n) =
1
n
V (t),
∀(m , n ,
m
n
t < ) : V
m
n
t
=
m
n
V (t).
V (t) t
∀(0 < t < ) : V (t) = tA , A ∈ L(B 7→ B),
T (t) = exp(tA) , 0 < t < .
t > 0
3 7→ 1
B = R
1
, ∀(z ∈ R
1
) : T (t)z = exp(at)z.
R
1
C
0
Az = az.
B = C([0 , 2π])
[0 , 2π] f(0) = f (2π) , f ∈ B
T (t)f(φ) = f(φ + t).
C([0 , 2π]) C
0
Af(φ) =
df(φ)
dφ
.
C([0 , 2π])
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
                                     1
                           V (t/n) =   V (t),
                                     n
è
                         m           m  m
                ∀(m , n , t < ) : V      t = V (t).
                         n              n     n
Èç íåïðåðûâíîñòè îïåðàòîðà V (t) êàê ôóíêöèè t îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

               ∀(0 < t < ) : V (t) = tA , A ∈ L(B 7→ B),

è
                      T (t) = exp(tA) , 0 < t < .
Ñ ïîìîùüþ ïîëóãðóïïîâîãî òîæäåñòâà ýòî ðàâåíñòâî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ
íà âñå t > 0.
   3 7→ 1. Óòâåðæäåíèå òðèâèàëüíî.
   Ðàññìîòðèì ïðèìåðû.
   Ïóñòü
                 B = R1 , ∀(z ∈ R1 ) : T (t)z = exp(at)z.
Ýòî ñîîòíîøåíèå çàäàåò â ïðîñòðàíñòâå R1 ïîëóãðóïïó êëàññà C0 ñ èí-
ôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì

                               Az = az.

Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà â ðàññìàòðèâàå-
ìîì ñëó÷àå ñîâïàäàåò ñî âñåì ïðîñòðàíñòâîì è èíôèíèòåçèìàëüíûé îïå-
ðàòîð îãðàíè÷åí.
     Ïóñòü B = C([0 , 2π]) -ïðîñòðàíñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå
[0 , 2π] ïåðèîäè÷íûõ: f (0) = f (2π) , f ∈ B ôóíêöèé ñ îáû÷íîé íîðìîé.
Ïîëîæèì
                            T (t)f (φ) = f (φ + t).
Ýòî ñîòíîøåíèå çàäàåò â ïðîñòðàíñòâå C([0 , 2π]) ïîëóãðóïïó êëàññà C0
ñ èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì

                                       df (φ)
                            Af (φ) =          .
                                         dφ

Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà -ìíîæåñòâî âñåõ
íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé. Ýòî ìíîæåñòâî ïëîòíî â ïðî-
ñòðàíñòâå C([0 , 2π]), íî íå ñîâïàäàåò ñ íèì, à èíôèíèòåçèìàëüíûé îïå-
ðàòîð íåîãðàíè÷åí.

                                  248

Страницы