Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 261 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

C
0
A
C
0
B
A
A B
Cl(Dom(A)) = B.
A
M < ∞ , ω < ∞
Re λ > ω
A R(λ , A)
∀(n > 0 , λ > ω) : kR(λ , A)
n
k ≤ M|λ − ω|
−n
.
T (t)
C
0
B
M
t
x =
1
t
Z
t
0
T (τ)xdτ.
t 7→ T (t)x
T (t) C
0
∀(x ∈ B) : lim
t→0
M
t
x = x.
x ∈ B
C
0
∀( > 0) , ∃δ() > 0 , ∀(t < δ()) : kT(t)x − xk < .
∀(t < δ()) : kM
t
x − xk <
1
t
Z
t
0
kT (τ)x − xkdτ < .
3.10.1     Òåîðåìà Õèëëå-Ôèëëèïñà-Èîñèäû.

Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé â òåîðèè ïîëóãðóïï êëàññà C0 .

Òåîðåìà 3.10.2. Îïåðàòîð A åñòü èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð ïî-
ëóãðóïïû êëàññà     C0   â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå          B   òîãäà è òîëüêî òîãäà,
åñëè îïåðàòîð   A   óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì.
    1. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà          A   ïëîòíà â      B:

                               Cl(Dom(A)) = B.

    2. Îïåðàòîð    A   çàìêíóò.
    3. Ñóùåñòâóþò òàêèå êîíñòàíòû             M < ∞ , ω < ∞,          ÷òî ïîëóïëîñ-
êîñòü   Re λ > ω    ïðèíàäëåæèò ðåçîëüâåíòíîìó ìíîæåñòâó îïåðàòîðà
A   è ðåçîëüâåíòà   R(λ , A)   óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå

              ∀(n > 0 , λ > ω) : kR(λ , A)n k ≤ M |λ − ω|−n .                (3.257)

   Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ìû ïîëó÷èì êàê ñëåäñòâèå íåñêîëüêèõ
ëåìì.
   Ñíà÷àëà ìû áóäåì äîêàçûâàòü íåîáõîäèìîñòü óñëîâèé òåîðåìû Õèëëå-
Ôèëëèïñà-Èîñèäû è íèæå ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî T (t) -ïîëóãðóïïà êëàññ-
ñà C0 .
   Íà ïðîñòðàíñòâå B îïðåäåëèì îïåðàòîð

                               1 t
                                Z
                        Mt x =     T (τ )xdτ.
                               t 0
Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, òàê êàê ôóíêöèÿ t 7→ T (t)x íåïåðåðûâíà.

Ëåììà 3.10.4. Åñëè T (t) ïîëóãðóïïà êëàññà C , òî          0

                             ∀(x ∈ B) : lim Mt x = x.
                                        t→0

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ôèêñèðóåì x ∈ B . Èç îïðåäåëåíèÿ ïîëóãðóïïû êëàñ-
ñà C0 ñëåäóåò, ÷òî

            ∀( > 0) , ∃δ() > 0 , ∀(t < δ()) : kT (t)x − xk < .

Ïîýòîìó
                                              Z   t
                                       1
            ∀(t < δ()) : kMt x − xk <                kT (τ )x − xkdτ < .
                                       t      0

Ëåììà äîêàçàíà.

                                       249

Страницы