Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 262 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
h
M
t
= A
t
M
h
.
htA
h
M
t
x = (T (h) − id)
Z
t
0
T (τ)xdτ =
Z
t
0
(T (h + τ) − T (τ)) xdτ =
Z
t+h
h
T (τ)xdτ −
Z
t
0
T (τ)xdτ =
Z
h
0
T (τ) (T (t) −id) xdτ = htA
t
M
h
.
∀(t > 0) : Im(M
t
) ⊂ Dom(A) ; Cl(Dom(A)) = B,
∀(x ∈ B) : AM
t
x = A
t
x.
C
0
C
0
x
n
⊕ Ax
n
∈ Gr(A) , x
n
⊕ Ax
n
→ {x
0
, y
0
}.
x
0
⊕ y
0
∈ Gr(A).
∀(t > 0) : T (t)x
n
− x
n
=
Z
t
0
T (τ)Ax
n
dτ.
n → ∞
∀(t > 0) : T (t)x
0
− x
0
=
Z
t
0
T (τ)y
0
dτ.
t t → 0
x
0
∈ Dom(A) , Ax
0
= y
0
.
Ëåììà 3.10.5. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                                Ah Mt = At Mh .
   Ýòî óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåòñÿ ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì:
                             Z t              Z t
    htAh Mt x = (T (h) − id)     T (τ )xdτ =       (T (h + τ ) − T (τ )) xdτ =
                               0                0
    Z t+h             Z t              Z h
          T (τ )xdτ −     T (τ )xdτ =      T (τ ) (T (t) − id) xdτ = htAt Mh .
      h                 0               0

Èç ëåìì 3.10.4 è 3.10.5 ñëåäóåò
Ëåììà 3.10.6. Ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ:
            ∀(t > 0) : Im(Mt ) ⊂ Dom(A) ; Cl(Dom(A)) = B,
            ∀(x ∈ B) : AMt x = At x.
   Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ èíôèíèòåçèìàëüíîãî
îïåðàòîðà ïîëóãðóïïû êëàññà C0 ïëîòíà â òîì ïðîñòðàíñòâå, ãäå äåé-
ñòâóåò ïîëóãðóïïà. Òåïåðü äîêàæåì ëåììó
Ëåììà 3.10.7. Èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð ïîëóãðóïïû êëàññà C                     0
çàìêíóò.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

                 xn ⊕ Axn ∈ Gr(A) , xn ⊕ Axn → {x0 , y0 }.
Íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî

                               x0 ⊕ y0 ∈ Gr(A).
Èç ëåììû 3.10.3 ñëåäóåò, ÷òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                                          Z t
                ∀(t > 0) : T (t)xn − xn =     T (τ )Axn dτ.
                                                0

Ïåðåõîäÿ â ýòîì ðàâåíñòâå ê ïðåäåëó n → ∞, ìû ïîëó÷àåì:
                                           Z t
                 ∀(t > 0) : T (t)x0 − x0 =     T (τ )y0 dτ.
                                                    0

Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà íà t è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó t → 0, ìû
ïîëó÷èì:
                       x0 ∈ Dom(A) , Ax0 = y0 .
Ëåììà äîêàçàíà.

                                       250

Страницы