Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 263 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

T (t) C
0
M , ω
Re λ > ω
A
Re λ > ω
R(λ , A)x =
Z
∞
0
exp(−λt)T (t)xdt.
R(λ , A)
∀(x ∈ Dom(A)) : R(λ , A)(λid − A)x = lim
a→∞
Z
a
0
exp(−λt)T (t)(idλ − A)xdt =
− lim
a→∞
Z
a
0
d
dt
exp(−λt)T (t)xdt = x.
∀(x ∈ B) : A
h
R(λ , A)x = A
h
Z
∞
0
exp(−λt)T (t)xdt =
exp(λh) − 1
h
Z
∞
h
exp(−λt)T (t)xdt −
1
h
Z
h
0
exp(−λt)T (t)xdt →
λ
Z
∞
0
exp(−λt)T (t)xdt − x , h → 0.
∀(x ∈ B) : R(λ , A)x ∈ Dom(A) , (λid − A)R(λ , A)x = x.
A
C
0
R(λ , A)
n+1
x =
(−1)
n
n!
d
n
dλ
n
Z
∞
0
exp(−λt)T (t)xdt =
1
n!
Z
exp(−λt)t
n
T (t)xdt.
Ëåììà 3.10.8. Ïóñòü T (t) -ïîëóãðóïïà êëàññà C              0 è êîíñòàíòû   M,ω
óäîâëåòâîðÿþò îöåíêå         (3.254). Òîãäà ïîëóïëîñêîñòü Re λ > ω ïðèíàä-
ëåæèò ðåçîëüâåíòíîìó ìíîæåñòâó èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà             A
è ïðè       Re λ > ω   ðåçîëüâåíòà èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà ìîæåò
áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå
                                      Z   ∞
                        R(λ , A)x =           exp(−λt)T (t)xdt.         (3.258)
                                      0

    Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îöåíêè (3.254) ñëåäóåò, ÷òî èíòåðãàë â ïðàâîé
÷àñòè ðàâåíñòâà (3.258) ñõîäèòñÿ. Äîêàæåì, ÷òî îïåðàòîð â ëåâîé ÷àñòè
ðàâåíñòâà (3.258) åñòü ðåçîëüâåíòà èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà. Íè-
æå ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî îïåðàòîð R(λ , A) îïðåäåëåí êàê ïðàâàÿ ÷àñòü
ðàâåíñòâà (3.258). Èìååì:
                                         Z a
∀(x ∈ Dom(A)) : R(λ , A)(λid − A)x = lim     exp(−λt)T (t)(idλ − A)xdt =
                                     a→∞ 0
       Z a
           d
− lim        exp(−λt)T (t)xdt = x.
   a→∞ 0 dt

Äàëåå:
                                          Z   ∞
            ∀(x ∈ B) : Ah R(λ , A)x = Ah     exp(−λt)T (t)xdt =
                                          0
            exp(λh) − 1 ∞                       1 h
                        Z                        Z
                             exp(−λt)T (t)xdt −     exp(−λt)T (t)xdt →
                 h        h                     h 0
              Z ∞
            λ     exp(−λt)T (t)xdt − x , h → 0.
              0

Ñëåäîâàòåëüíî,

             ∀(x ∈ B) : R(λ , A)x ∈ Dom(A) , (λid − A)R(λ , A)x = x.

Ëåììà äîêàçàíà.
Ëåììà 3.10.9. Åñëè A -èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð ïîëóãðóïïû êëàñ-
ñà   C0 ,   òî åãî ðåçîëüâåíòà óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå         (3.257).
     Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òîæäåñòâà Ãèëüáåðòà è ëåììû 3.10.8 ñëåäóåò, ÷òî
                                        Z ∞
                     n+1     (−1)n dn
             R(λ , A) x =                   exp(−λt)T (t)xdt =
                               n! dλn 0
                Z
             1
                   exp(−λt)tn T (t)xdt.
             n!

                                          251

Страницы