Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 264 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(λ > ω): kR(λ , A)
n+1
xk ≤
M
n!
Z
∞
0
exp(−λt + ωt)t
n
dtkxk =
M|λ −ω|
−(n+1)
kxk.
ω < λ < ∞
A
R(λ , A)
∀(x ∈ B) : λR(λ , A)x → x , λ → ∞.
∀(x ∈ Dom(A)) : λR(λ , A)x − x = R(λ , A)Ax.
∀(x ∈ Dom(A)) : kλR(λ , A)x − xk ≤
M|λ −ω|
−1
kAxk → 0 , λ → ∞.
Dom(A) B
∀(λ > ω) : V (λ)x = −λ(id − λR(λ , A))x.
∀(x ∈ Dom(A)) : kV (λ)x − Axk → 0 , λ → ∞.
V (λ)x = λR(λ , A)Ax.
∀(λ > ω): S(λ , t) = exp(tV (λ)).
Èñïîëçóÿ îöåíêó (3.254), ìû ïîëó÷àåì:

                                 M ∞
                                   Z
                           n+1
      ∀(λ > ω) : kR(λ , A) xk ≤       exp(−λt + ωt)tn dtkxk =
                                 n! 0
      M |λ − ω|−(n+1) kxk.

Ëåììà äîêàçàíà.
   Ìû äîêàçàëè íåîáõîäèìîñòü óñëîâèé òåîðåìû Õèëëå-Ôèëëèïñà-Èîñèäû.
   Ïåðåõîäèì ê äîêàçàòåëüñòâó äîñòàòî÷íîñòè ýòèõ óñëîâèé.
   Íèæå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ω < λ < ∞.
   Ïóñòü A -îïåðàòîð, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì òåîðåìû Õèëëå-Ôèëëèïñà-
Èîñèäû è R(λ , A) -åãî ðåçîëüâåíòà.

Ëåììà 3.10.10. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû Õèëëå-Ôèëëèïñà-
Èîñèäû, òî
                  ∀(x ∈ B) : λR(λ , A)x → x , λ → ∞.            (3.259)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

             ∀(x ∈ Dom(A)) : λR(λ , A)x − x = R(λ , A)Ax.

Ïîýòîìó

                 ∀(x ∈ Dom(A)) : kλR(λ , A)x − xk ≤
                 M |λ − ω|−1 kAxk → 0 , λ → ∞.                  (3.260)

Òàê êàê ìíîæåñòâî Dom(A) ïëîòíî â B , òî èç (3.260), îöåíêè (3.257)
è òåîðåìû Áàíàõà-Øòåéíãàóçà 3.3.4 (ñì. ñòð. 161) ñëåäóåò óòâåðæäåíèå
ëåììû.
   Ïîëîæèì

                ∀(λ > ω) : V (λ)x = −λ(id − λR(λ , A))x.

Ëåììà 3.10.11. Ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå
             ∀(x ∈ Dom(A)) : kV (λ)x − Axk → 0 , λ → ∞.         (3.261)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ýòî óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ëåììû 3.10.10 è ðàâåí-
ñòâà
                        V (λ)x = λR(λ , A)Ax.
Ïîëîæèì
                   ∀(λ > ω) : S(λ , t) = exp(tV (λ)).

                                  252

Страницы