Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 265 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(t > 0 , λ > ω) : kS(λ , t)k ≤ M exp
λωt
λ − ω
.
λ > ω
S(λ , t) = exp(−λt)
X
0≤n<∞
1
n!
λ
2
t
n
R(λ , A)
n
.
kS(λ , t)k ≤ exp(−λt)
X
0≤n<∞
1
n!
λ
2
t
n
kR(λ , A)
n
k ≤
M exp(−λt)
X
0≤n<∞
1
n!
λ
2
t
n
|λ − ω|
−n
=
M exp
−λt +
λ
2
t
λ − ω
= M exp
λωt
λ − ω
.
∀(x ∈ B , t > 0) , ∃T(t): T(t) = lim
λ→∞
S(λ , t)x.
∀(x ∈ Dom(A)) : S(λ , t)x −S(µ , t)x =
Z
t
0
d
dτ
S(µ , t −τ)S(λ , τ)x
dτ =
Z
t
0
S(µ , t −τ)S(λ , τ)(V (µ) −V (λ))xdτ ≤
const.k(V (µ) − V (λ))xk → 0 , x ∈ Dom(A) , λ , µ → ∞.
Dom(A) B S(λ , t)
λ
T (t)
C
0
A
Ëåììà 3.10.12. Ñïðàâåäëèâà îöåíêà:
                                                                
                                                           λωt
              ∀(t > 0 , λ > ω) : kS(λ , t)k ≤ M exp                  .
                                                          λ−ω
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè λ > ω ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                                      X    1 2 n
               S(λ , t) = exp(−λt)            λ t R(λ , A)n .
                                     0≤n<∞
                                           n!

Òàê êàê ðåçîëüâåíòà óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå (3.257), òî
                                     X   1 2 n
          kS(λ , t)k ≤ exp(−λt)             λ t kR(λ , A)n k ≤
                                   0≤n<∞
                                         n!
                          X1 2 n
          M exp(−λt)          λ t |λ − ω|−n =
                   0≤n<∞
                          n!
                       λ2 t
                                           
                                          λωt
          M exp −λt +          = M exp          .                        (3.262)
                      λ−ω                λ−ω
Ëåììà äîêàçàíà.

Ëåììà 3.10.13. Ñóùåñòâóò ïðåäåë
                                              def
              ∀(x ∈ B , t > 0) , ∃ T (t) : T (t) = lim S(λ , t)x.        (3.263)
                                                    λ→∞

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

        ∀(x ∈ Dom(A)) : S(λ , t)x − S(µ , t)x =
        Z t                            
              d
                 S(µ , t − τ )S(λ , τ )x dτ =
         0   dτ
        Z t
            S(µ , t − τ )S(λ , τ )(V (µ) − V (λ))xdτ ≤
          0
        const.k(V (µ) − V (λ))xk → 0 , x ∈ Dom(A) , λ , µ → ∞.

(Íà ïîñëåäíåì ýòàïå ìû âîñïîëüçîâàëèñü ëåììîé 3.10.11.)
   Ìíîæåñòâî Dom(A) ïëîòíî â B , à íîðìà îïåðàòîðà S(λ , t) îãðàíè÷å-
íà ðàâíîìåðíî ïî λ â ñèëó ëåììû 3.10.12 , ïîýòîìó óòâåðæäåíèå ëåììû
ñëåäóåò èç òåîðåìû Áàíàõà-Øòåéíãàóçà 3.3.4.
   Ëåììà äîêàçàíà.

Ëåììà 3.10.14. Çàäàííûé ðàâåíñòâîì (3.263) îïåðàòîð T (t) åñòü ïî-
ëóãðóïïà êëàññà   C0   ñ èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì            A.

                                      253

Страницы