Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 266 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(x ∈ B , t
1
∈ R
1
, t
2
∈ R
1
) : S(λ , t
1
)S(λ , t
2
)x = S(λ , t
1
+ t
2
)x,
∀(x ∈ Dom(A)) : S(λ , t)x − x =
Z
t
0
S(λ , τ)V (λ)xdτ.
λ → ∞
∀(x ∈ B , t
1
∈ R
1
, t
2
∈ R
1
) : T (t
1
)T (t
2
)x = T (t
1
+ t
2
)x,
∀(x ∈ Dom(A)) : T (t)x − x =
Z
t
0
T (τ)Axdτ.
t
∀(x ∈ Dom(A)) : kT (t)x − xk → 0 , t → 0.
∀(x ∈ B) : kT (t)x −xk → 0 , t → 0.
T (t) C
0
e
A
T (t)
exp(−λt) t 0 ∞
∀(x ∈ Dom(A)) : R(λ ,
e
A)(λid − A)x = x.
x → R(λ , A)x
∀(x ∈ Dom(A)) : R(λ ,
e
A)x = R(λ , A)x.
Dom(A) B
R(λ ,
e
A) = R(λ , A),
e
A = A.
λ → ∞
M ω
A
T (t)
kT (t)k ≤ M exp(ωt).
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
     ∀(x ∈ B , t1 ∈ R1 , t2 ∈ R1 ) : S(λ , t1 )S(λ , t2 )x = S(λ , t1 + t2 )x,
                                          Z t
     ∀(x ∈ Dom(A)) : S(λ , t)x − x =           S(λ , τ )V (λ)xdτ.
                                              0

Ïåðåõîäÿ â çòèõ ðàâåíñòâàõ ê ïðåäåëó λ → ∞, ìû ïîëó÷àåì:
          ∀(x ∈ B , t1 ∈ R1 , t2 ∈ R1 ) : T (t1 )T (t2 )x = T (t1 + t2 )x,
                                            Z t
          ∀(x ∈ Dom(A)) : T (t)x − x =           T (τ )Axdτ.                 (3.264)
                                                  0

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî çàäàííàÿ ôîðìóëîé (3.263) ôóíêöèÿ t åñòü ïîëó-
ãðóïïà è
             ∀(x ∈ Dom(A)) : kT (t)x − xk → 0 , t → 0.
Îïÿòü âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé Áàíàõà-Øòåéíãàóçà 3.3.4, ìû ïîëó-
÷àåì:
                 ∀(x ∈ B) : kT (t)x − xk → 0 , t → 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, T (t) -ïîëóãðóïïà êëàññà C0 . Ïóñòü A
                                                   e -èíôèíèòåçèìàëüíûé
îïåðàòîð ïîëóãðóïïû T (t). Óìíîæèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (3.264) íà
exp(−λt) è ïðîèíòåãðèðóåì ïî t îò 0 äî ∞. Ïîëó÷èì:

                 ∀(x ∈ Dom(A)) : R(λ , A)(λid
                                       e      − A)x = x.                     (3.265)
 óðàâíåíèè (3.265) ñäåëàåì çàìåíó x → R(λ , A)x. Ïîëó÷èì:

                  ∀(x ∈ Dom(A)) : R(λ , A)x
                                        e = R(λ , A)x.                       (3.266)
Òàê êàê Dom(A) ïëîòíî â B , òî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

                              R(λ , A)
                                    e = R(λ , A),

Îòñþäà â ñèëó ëåììû 3.9.4 ñëåäóåò, ÷òî
                                     A
                                     e = A.

Èòàê, ìû äîêàçàëè òåîðåìó Õèëëå-Ôèëëèïñà-Èîñèäû.
   Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó λ → ∞ (3.262), ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óòî÷íå-
íèå òåîðåìû Õèëëå-Ôèëèïñà-Èîñèäû:
Ëåììà 3.10.15. Åñëè M      è ω -êîíñòàíòû, êîòîðûå âõîäÿò â îöåíêó
(3.257), òî äëÿ ïîðîæäåííîé èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì A ïîëó-
ãðóïïû T (t) ñïðàâåäëèâà îöåíêà

                              kT (t)k ≤ M exp(ωt).                           (3.267)

                                        254

Страницы