Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 267 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

T (t)
∀(t > 0) : kT (t)k ≤ 1.
T (t)
∀(λ > 0) : kR(λ , A)k ≤ 1/λ.
kR(λ , A)
n
k ≤ kR(λ , A)k
n
≤ Re λ
−n
,
M = 1 , ω = 0
T (t) → exp(−ωt)T (t)
A
0
C
0
B b ∈ L(B → B)
A
0
+ b C
0
T
0
(t) C
0
A
0
kT
0
(t)k ≤ M exp(ωt).
δ > 0
α := δkbkM exp(ωδ) < 1.
C([0 , δ] , B)
t ∈ [0 , δ] B x ∈ B
C([0 , δ] , B)
W : C([0 , δ] , B) → C([0 , δ] , B),
W z(t) = T
0
(t)x +
Z
t
0
T
0
(t − τ)bz(τ)dτ , 0 < t < δ.
Îïðåäåëåíèå 3.10.3. Ïîëóãðóïïà T (t) íàçûâàåòñÿ ñæèìàþùåé, åñëè
                              ∀(t > 0) : kT (t)k ≤ 1.

Ëåììà 3.10.16. Ïîëóãðóïïà T (t) ñæèìàþùàÿ â òîì è òîëüêî òîì
ñëó÷àå, åñëè ðåçîëüâåíòà åå èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà óäîâëåòâî-
ðÿåò îöåíêå
                          ∀(λ > 0) : kR(λ , A)k ≤ 1/λ.                     (3.268)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ ñëåäóåò èç ôîðìóëû (3.258).
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íîñòè óñëîâèÿ (3.268) çàìåòèì, ÷òî ïðè åãî
âûïîëíåíèè
                 kR(λ , A)n k ≤ kR(λ , A)kn ≤ Re λ−n ,
ïîýòîìó â îöåíêå (3.267) ìû ìîæåì ïîëîæèòü M = 1 , ω = 0.
   Çàìåòèì, ÷òî çàìåíîé

                              T (t) → exp(−ωt)T (t)

ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ïîëóãðóïïà áóäåò ñæèìàþ-
ùåé.

Òåîðåìà 3.10.3. Åñëè A        0 -èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð ïîëóãðóïïû
êëàññà   C0   â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå        B   è   b ∈ L(B → B)   òî îïåðàòîð
A0 + b   åñòü èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð ïîëóãðóïïû êëàññà               C0 .

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü T0 (t) -ïîëóãðóïïà êëàññà C0 , êîòîðàÿ ïîðîæ-
äåíà èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì A0 è ïóñòü

                              kT0 (t)k ≤ M exp(ωt).

Âûáåðåì ÷èñëî δ > 0 òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî

                            α := δkbkM exp(ωδ) < 1.

Ïóñòü C([0 , δ] , B) -áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
îò t ∈ [0 , δ] ñî çíà÷åíèÿìè â B . Ôèêñèðóåì x ∈ B è â ïðîñòðàíñòâå
C([0 , δ] , B) ðàññìîòðèì îïåðàòîð

               W : C([0 , δ] , B) → C([0 , δ] , B),
                                  Z t
               W z(t) = T0 (t)x +     T0 (t − τ )bz(τ )dτ , 0 < t < δ.
                                    0


                                        255

Страницы