Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 308 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
∗
A
s
j
(A) → 0 , j → ∞.
|A|f =
X
j
s
j
(A) < e
j
, f > e
j
.
|A|
|A|
s A
s
j
(A)
A
Af =
X
j
s
j
(A) < e
j
, f > g
j
,
{e
j
} {g
j
}
Af = U|A|f =
X
j
s
j
(A) < e
j
, f > Ue
j
,
{e
j
} U
|A| g
j
= Ue
j
A
Af(x) =
Z
x
0
f(t)dt
L
2
([0 , 1] , dx)
-ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà A∗ A.
Èç òåîðåìû Ãèëüáåðòà-Øìèäòà 4.4.1 (ñì. ñòð. 290)ñëåäóåò, ÷òî

                                   sj (A) → 0 , j → ∞.

Èç îïðåäåëåíèÿ 4.48 ñëåäóåò ðàâåíñòâî
                            X
                     |A|f =    sj (A) < ej , f > ej .              (4.59)
                                      j

Èç ýòîãî ðàâåíñòâà è ëåììû 4.4.1 (ñì. ñòð. 293) ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð |A|
-êîìïàêòíûé îïåðàòîð. Òåîðåìà äîêàçàíà.
Îïðåäåëåíèå 4.4.1. Ðàñïîëîæåííûå â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà |A| íàçûâàþòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ÷èñëàìè (èëè
s-÷èñëàìè) êîìïàêòíîãî îïåðàòîðà A.
   Îáû÷íî õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà îïåðàòîðà îáîçíà÷àþòñÿ ñèìâî-
ëîì sj (A).
   Èç ôîðìóë (4.49), (4.59) è òåîðåìû 4.4.3 ñëåäóåò
Òåîðåìà 4.4.5. Êîìïàêòíûé îïåðàòîð A â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàí-
ñòâå ïðåäñòàâèì â âèäå
                                      X
                               Af =       sj (A) < ej , f > gj ,   (4.60)
                                      j

ãäå   {ej }   è   {gj }   -îðòîíîðìèðîâàííûå ñèñòåìû.

      Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
                                X
                  Af = U |A|f =    sj (A) < ej , f > U ej ,        (4.61)
                                           j

ãäå {ej } -îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà. Òàê êàê îïåðàòîð U óíèòàðåí íà
îáëàñòè çíà÷åíèé îïåðàòîðà |A|, ñèñòåìà gj = U ej -îðòîíîðìèðîâàíà.
   Ïðåäñòàâëåíèå êîìïàêòíîãî îïåðàòîðà A â âèäå (4.60) íàçûâàåòñÿ
ðàçëîæåíèåì Øìèäòà. Çàìåòèì, ÷òî ó êîìïàêòíîãî îïåðàòîðà â ãèëü-
áåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ìîæåò íå áûòü íè îäíîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà.
Ïðèìåð òàêîãî îïåðàòîðà -îïåðàòîð
                                   Z x
                          Af (x) =     f (t)dt
                                                 0

â ïðîñòðàíñòâå L2 ([0 , 1] , dx). Îäíàêî õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà åñòü ó
ëþáîãî êîìïàêòíîãî îïåðàòîðà.

                                               296

Страницы