Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 311 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
B
1. |s
j
(A) − s
j
(B)| ≤ kA − Bk.
2. s
j
(A
∗
) = s
j
(A).
3. s
j
(αA) = |α|s
j
(A).
4. ∀B ∈ L(H 7→ H) : s
j
(BA) ≤ kBks
j
(A) , s
j
(AB) ≤ kBks
j
(A).
∀j : (A , M
j
) = (A
∗
, M
j
),
kA − Kk = kA
∗
− K
∗
k.
∀(f ∈ H) : < f , (BA)
∗
BAf >≤ kBk
2
kAfk
2
≤ kBk
2
< f , A
∗
Af >
∀(f ∈ H) : < f , (kBk
2
A
∗
A − (BA)
∗
BA)f >≥ 0,
kBk
2
A
∗
A ≥ (BA)
∗
BA.
kBk
2
s
j
(A)
2
≥ s
j
(BA)
2
.
s
j
(AB) = s
j
(B
∗
A
∗
) ≤ kB
∗
ks
j
(A
∗
) = kBks
j
(A).
Òåîðåìà 4.4.7. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà êîìïàêòíîãî îïåðàòîðà A
óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì:
   Åñëè   B   -êîìïàêòíûé îïåðàòîð, òî

  1. |sj (A) − sj (B)| ≤ kA − Bk.                                     (4.72)
  2. sj (A∗ ) = sj (A).                                               (4.73)
  3. sj (αA) = |α|sj (A).                                             (4.74)
  4. ∀B ∈ L(H 7→ H) : sj (BA) ≤ kBksj (A) , sj (AB) ≤ kBksj (A).      (4.75)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðìû ñëåäóåò èç òåîðåìû
Ä.Ý.Àëëàõâåðäèåâà è îáîáùåííîãî íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà (ñì. ôîð-
ìóëó (2.11) íà ñòð. 101)
   Âòîðîå óòâåðæäåíèå òàêæå ñëåäóåò èç òåîðåìû Ä.Ý.Àëëàõâåðäèåâà,
òàê êàê
                     ∀j : dist(A , Mj ) = dist(A∗ , Mj ),
÷òî ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà

                            kA − Kk = kA∗ − K ∗ k.

Òðåòüå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî.
   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ÷åòâåðòîãî óòâåðæäåíèÿ çàìåòèì, ÷òî

   ∀(f ∈ H) : < f , (BA)∗ BAf >≤ kBk2 kAf k2 ≤ kBk2 < f , A∗ Af >

Ñëåäîâàòåëüíî,

              ∀(f ∈ H) : < f , (kBk2 A∗ A − (BA)∗ BA)f >≥ 0,

è ïîýòîìó
                            kBk2 A∗ A ≥ (BA)∗ BA.                     (4.76)

Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà è ñëåäñòâèÿ 4.4.1 (ñì. ñòð. 293) âûòåêàåò íåðàâåí-
ñòâî
                        kBk2 sj (A)2 ≥ sj (BA)2 .
Äàëåå çàìåòèì, ÷òî

               sj (AB) = sj (B ∗ A∗ ) ≤ kB ∗ ksj (A∗ ) = kBksj (A).

Òåîðåìà äîêàçàíà.

                                       299

Страницы