Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 41 стр.

1. Ëîãè÷åñêèå èñ÷èñëåíèÿ                                                     41


Ãëàâà 2
Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé.
Ãèëüáåðòîâñêèå èñ÷èñëåíèÿ
                            Èñêóññòâåííûå èñ÷èñëåíèÿ, íå îçàðåííûå îã-
                            íåì ñåðäöà, íåñóò ìèðó íåñ÷àñòüÿ è ñìóùåíèÿ.

                      Íèêîëàé Ðåðèõ. Ìèð îãíåííûé. ×àñòü òðåòüÿ, 601.


   Ôîðìàëüíóþ ëîãèêó ðàçäåëÿþò íà òðàäèöèîííóþ è ìàòåìàòè÷å-
ñêóþ . Ñîäåðæàíèå ïðåäûäóùåé ãëàâû îñòàâàëîñü â ðàìêàõ òðàäèöèîí-
íîé ëîãèêè. Ñåé÷àñ ìû ïåðåõîäèì ê èçó÷åíèþ îñíîâ ëîãèêè ìàòåìà-
òè÷åñêîé, â êîòîðîé çàêîíû ìûøëåíèÿ èññëåäóþòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì
ôîðìàëèçîâàííûõ ÿçûêîâ èëè èñ÷èñëåíèé1 . Îòìåòèì, ÷òî ìàòåìàòè-
÷åñêàÿ ëîãèêà êàê ñàìîñòîÿòåëüíàÿ îáëàñòü ìàòåìàòèêè âåä¼ò íà÷à-
ëî îò ôóíäàìåíòàëüíîãî òðóäà À. Óàéòõåäà è Á. Ðàññåëà ¾Principia
mathematica¿ (â 3-õ òîìàõ, 19101913).



1 Ëîãè÷åñêèå èñ÷èñëåíèÿ
   Êàê áûëî îòìå÷åíî, õàðàêòåðèçàöèè ôîðìóë C2 ÿâëÿåòñÿ ïåðåáîð-
íîé çàäà÷åé. Ïîýòîìó õîòåëîñü áû èìåòü ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé òåì èëè
èíûì êîíñòðóêòèâíûì ñïîñîáîì îïèñàòü ìíîæåñòâî âñåõ òàâòîëîãèé.
Ýòî ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî ïîñòðîåíèåì ôîðìàëüíîé ñèñòåìû, â êî-
òîðîé òàâòîëîãèè ïîëó÷àþòñÿ èç ñîâîêóïíîñòè îñíîâíûõ, áàçîâûõ îáú-
åêòîâ ñ ïîìîùüþ òî÷íî îïèñàííûõ ðåãóëÿðíûõ ïðîöåäóð. Óïîìÿíóòûå
áàçîâûå îáúåêòû, ñëóæàùèå äëÿ ïîëó÷åíèÿ îñòàëüíûõ, íàçûâàþòñÿ àê-
ñèîìàìè. Ïðîöåäóðû ïîëó÷åíèÿ íîâûõ îáúåêòîâ  òåîðåì  ñîñòîÿò
â ïðèìåíåíèè ê àêñèîìàì è óæå ïîëó÷åííûì òåîðåìàì òåõ èëè èíûõ
ïðàâèë âûâîäà. Åñëè ìíîæåñòâî òåîðåì ñîâïàä¼ò ñ ìíîæåñòâîì òàâòî-
ëîãèé, òî ïîñòàâëåííàÿ íàìè öåëü áóäåò äîñòèãíóòà.
   1 Ï. Ïîðåöêèé îïðåäåëÿë ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó êàê ¾ëîãèêó ïî ïðåäìåòó, ìà-
òåìàòèêó ïî ìåòîäó¿.
  Ê.üäåëü ïèñàë, ÷òî ¾ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà åñòü íå ÷òî èíîå, êàê òî÷íàÿ è ïîë-
íàÿ ôîðìóëèðîâêà ôîðìàëüíîé ëîãèêè¿, âèäèìî, ïîäðàçóìåâàÿ ïîä ôîðìàëüíîé
ëîãèêîé òðàäèöèîííóþ (ðàíåå óêàçàííîå ðàçäåëåíèå ÷àñòî íå îñîçíàâàëîñü).