Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 42 стр.

42            Ãëàâà 2. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ãèëüáåðòîâñêèå ÈÂ


   Îïèñàííàÿ ôîðìàëüíàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ èñ÷èñëåíèåì âûñêàçû-
âàíèé (ÈÂ) è ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì ôîðìàëüíîãî èñ÷èñëå-
íèÿ2 .

1.1 Ñèíòàêñè÷åñêîå çàäàíèå èñ÷èñëåíèé

   Ëîãè÷åñêîå èñ÷èñëåíèå (ôîðìàëüíîå èñ÷èñëåíèå , èëè ïðîñòî èñ÷èñ-
ëåíèå ) ñ÷èòàåòñÿ çàäàííûì, åñëè îïðåäåëåíû ñëåäóþùèå ÷åòûðå ìíî-
æåñòâà.

Àëôàâèò Al. Àëôàâèò èñ÷èñëåíèÿ åñòü íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíîå ìíî-
æåñòâî ñèìâîëîâ. Èç ñèìâîëîâ àëôàâèòà ñòðîÿòñÿ êîíå÷íûå ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòè (öåïî÷êè) ñèìâîëîâ; èõ íàçûâàþò ñëîâàìè. Òðàíçèòèâíîå
çàìûêàíèå àëôàâèòà (ìíîæåñòâî âñåõ ñëîâ êîíå÷íîé äëèíû áåç ïóñòî-
ãî) îáîçíà÷àåì Al+ . ßñíî, ÷òî ìíîæåñòâî Al+ ñ÷¼òíî.
    Àëôàâèòû ëîãè÷åñêèõ èñ÷èñëåíèé ñîäåðæàò, â ÷àñòíîñòè, ñèìâî-
                                   ¡
ëû ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê ¬, N , ∨, ¢ è ò.ä. Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî â
ýòè ñèìâîëû ñóòü ïðîñòî íåêîòîðûå çíàêè, à íå îáîçíà÷åíèÿ ðåçóëüòà-
òà äåéñòâèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé. Àëôàâèòû ïðîïî-
çèöèîíàëüíûõ (ñì. íèæå) èñ÷èñëåíèé îáÿçàòåëüíî ñîäåðæàò ñèìâîëû
ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ïåðåìåííûõ, à òàêæå, êàê ïðàâèëî, è íåêîòîðûå
âñïîìîãàòåëüíûå çíàêè.

Âûðàæåíèÿ Ex.        Ìíîæåñòâî Ex ñîñòàâëÿþò ñëîâà èç Al+ , êîòî-
ðûå òîëüêî è ðàññìàòðèâàþòñÿ â äàííîì èñ÷èñëåíèè. Îíè íàçûâàþòñÿ
(ïðàâèëüíî ïîñòðîåííûìè) âûðàæåíèÿìè äàííîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ïðåä-
ñòàâëÿþò èíòåðåñ òîëüêî èñ÷èñëåíèÿ ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ïðàâèëüíî
ïîñòðîåííûõ âûðàæåíèé.
   Ëîãè÷åñêîå èñ÷èñëåíèå ìîæåò ñîäåðæàòü âûðàæåíèÿ íåñêîëüêèõ
òèïîâ, îäíàêî ñðåäè íèõ âñåãäà èìååòñÿ òèï ôîðìóë . Ìíîæåñòâî ôîð-
ìóë äàííîãî èñ÷èñëåíèÿ áóäåì îáîçíà÷àòü F m. Îáû÷íî ôîðìóëû çà-
äàþòñÿ èíäóêòèâíî, êàê ïîñòðîåííûå ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé êîíå÷íîé
ðåêóðñèâíîé ïðîöåäóðû èç íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ ôîðìóë è ëîãè-
÷åñêèõ ñâÿçîê, ïðèìåíÿåìûì ê óæå ïîñòðîåííûì ôîðìóëàì. Ïðè ýòîì
âñå ôîðìóëû áóäóò êîíå÷íûìè (õîòÿ èìåþòñÿ èñ÷èñëåíèÿ, äîïóñêàþ-
ùèå áåñêîíå÷íî äëèííûå ôîðìóëû). Èñ÷èñëåíèå íàçûâàþò ïðîïîçèöè-
îíàëüíûì, åñëè åãî âûðàæåíèÿ îãðàíè÷èâàþòñÿ ôîðìóëàìè îò ïðî-
ïîçèöèîíàëüíûõ ïåðåìåííûõ; ïîñëåäíèå ÿâëÿþòñÿ åãî ýëåìåíòàðíûìè
ôîðìóëàìè.
   2 Îòìåòèì, ÷òî ïåðâóþ ôîðìóëèðîâêó êëàññè÷åñêîãî È êàê ôîðìàëüíîé ñèñòå-
ìû äàë Ã. Ôðåãå â 1879 ã., à ñàì òåðìèí èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé ââ¼ë Ý. Øð¼äåð
â 1877 ã.