Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 43 стр.

1. Ëîãè÷åñêèå èñ÷èñëåíèÿ                                             43


   Óêàçàííûé ñïîñîá çàäàíèÿ ôîðìóë óäîáåí äëÿ äîêàçàòåëüñòâ
êàêèõ-ëèáî èõ ñâîéñòâ: òàêèå äîêàçàòåëüñòâà ïðîâîäÿò ìåòîäîì ìà-
òåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ïî ÷èñëó ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê â ôîðìóëå (å¼
äëèíå) è ãîâîðÿò, ÷òî ïðèìåíÿåòñÿ ïðèíöèï èíäóêöèè ïî ïîñòðîåíèþ
(ñëîæíîñòè) ôîðìóëû .  êà÷åñòâå ïðèìåðà ñì. äîêàçàòåëüñòâî
òåîðåìû 1.2 î çàìåíå ëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûõ.
   Àëôàâèò è ìíîæåñòâî âûðàæåíèé îáðàçóþò ÿçûê èñ÷èñëåíèÿ , êî-
òîðûé ìû áóäåì îáîçíà÷àòü L.

Àêñèîìû Ax.      Â ìíîæåñòâå âûðàæåíèé âûäåëÿþò ñîáñòâåííîå ïîä-
ìíîæåñòâî Ax, ýëåìåíòû êîòîðîãî íàçûâàþò àêñèîìàìè äàííîãî èñ-
÷èñëåíèÿ.
   Ìíîæåñòâî àêñèîì èñ÷èñëåíèÿ ìîæåò áûòü êàê êîíå÷íûì, òàê è áåñ-
êîíå÷íûì. Åñëè ìíîæåñòâî Ax áåñêîíå÷íî, òî, êàê ïðàâèëî, îíî çàäà-
¼òñÿ ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî íàáîðà ò.í. ñõåì àêñèîì .  ñõåìàõ ôèãóðè-
ðóþò ñèìâîëû, îáîçíà÷àþùèå ïðîèçâîëüíóþ ôîðìóëó. Îíè íå âõîäÿò
â àëôàâèò Al è èõ íàçûâàþò ìåòàñèìâîëàìè èñ÷èñëåíèÿ. Êîíêðåò-
íûå àêñèîìû èñ÷èñëåíèÿ ïîëó÷àþò èç ñõåì c ïîìîùüþ ïîäñòàíîâîê
òåõ èëè èíûõ ôîðìóë âìåñòî ìåòàñèìâîëîâ. Ðåçóëüòàòîì êàæäîé òà-
êîé ïîäñòàíîâêè ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðàÿ êîíêðåòíàÿ àêñèîìà  ÷àñòíûé
ñëó÷àé ñîîòâåòñòâóþùåé ñõåìû3 . Óêàçàííûé âèä ìåòàñèìâîëîâ îòíî-
ñèòñÿ ê ò.í. ìåòàÿçûêîâûì (ìåòàëèíãâèñòè÷åñêèì) ïåðåìåííûì, êî-
òîðûå èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïðîèçâîëüíîãî âûðàæåíèÿ îïðå-
äåë¼ííîãî òèïà. Ìåòàñèìâîëû èñïîëüçóþòñÿ è äëÿ îáîçíà÷åíèé äðóãèõ
îáðàçîâàíèé, âîçíèêàþùèõ â àëôàâèòå è ñîîòíîøåíèé ìåæäó íèìè: íà-
ïðèìåð, ñèìâîë ñèíòàêñè÷åñêîãî òîæäåñòâà ôîðìóë, êàê ïðàâèëî, åñòü
ìàòàñèìâîë èñ÷èñëåíèÿ.
   Ðàçëè÷àþò ëîãè÷åñêèå è íåëîãè÷åñêèå (èëè ñîáñòâåííûå) àêñèîìû.
Àêñèîìû ïåðâîãî òèïà ÿâëÿþòñÿ îáùèìè äëÿ öåëîãî êëàññà èñ÷èñëå-
íèé. Äðóãèõ àêñèîì èñ÷èñëåíèÿ íå ñîäåðæàò. Ïðè íàëè÷èè ñîáñòâåí-
íûõ àêñèîì èñ÷èñëåíèå íàçûâàþò ôîðìàëüíîé èëè àêñèîìàòè÷åñêîé
òåîðèåé . Ýòè àêñèîìû ñïåöèôè÷íû äëÿ êàæäîé êîíêðåòíîé àêñèîìà-
òè÷åñêîé òåîðèè. Íàïðèìåð, äëÿ òåîðèè ãðóïï ñîáñòâåííûå àêñèîìû
ïîñòóëèðóþò èçâåñòíûå ñâîéñòâà ãðóïïîâîé îïåðàöèè, åäèíè÷íîãî ýëå-
ìåíòà è îïåðàöèè îáðàùåíèÿ; äëÿ òåîðèè ÷.ó. ìíîæåñòâ (ñì. ñ. 66) 
ñâîéñòâà ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà è ò.ä.

Ïðàâèëà âûâîäà Rl.      Ïðàâèëà âûâîäà åñòü ñîâîêóïíîñòü íåêîòî-
ðûõ ÷àñòè÷íûõ ôóíêöèé íà Ex, èíâàðèàíòíûõ îòíîñèòåëüíî ïåðåñòà-
íîâêè îïåðàíäîâ. Ïðàâèëà âûâîäà çàïèñûâàþòñÿ â âèäå òåõ èëè èíûõ
  3 Îáùåïðèíÿòûé ïîäõîä îïèñûâàòü àêñèîìû â âèäå ñõåì âîñõîäèò ê Äæ. ôîí
Íåéìàíó.