Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 45 стр.

1. Ëîãè÷åñêèå èñ÷èñëåíèÿ                                                    45


äåëÿåò ïðàâèëà ïîñòðîåíèÿ âûðàæåíèé ÿçûêà èñ÷èñëåíèÿ è äîêàçà-
òåëüñòâ. Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèÿ ôîðìàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ ÿâëÿ-
þòñÿ ëèøü öåïî÷êàìè ñèìâîëîâ íåêîòîðîãî àëôàâèòà è òîëüêî. Êîí-
êðåòíûé ñìûñë îíè ïðèîáðåòàþò ïðè èíòåðïðåòàöèè ÿçûêà èñ÷èñ-
ëåíèÿ, êîòîðàÿ çàäà¼ò ñåìàíòèêó , îïðåäåëÿþùóþ ñâÿçè ìåæäó ôîð-
ìîé è ñìûñëîì ÿçûêîâûõ åäèíèö. Òàê íàïðèìåð, ôîðìóëû x èëè
          ¡
(¬ y ∨ (x ¢ z)) N y ÿâëÿþòñÿ ïðîñòî ñòðîêàìè ñèìâîëîâ è ñàìè ïî ñåáå
íå èñòèííû è íå ëîæíû. Îäíàêî ïðè ïîäñòàíîâêå â íèõ âìåñòî ïðîïîçè-
öèîíàëüíûõ ïåðåìåííûõ êîíêðåòíûõ èñòèííîñòíûõ çíà÷åíèé è ïîíè-
                          ¡
ìàíèè ñâÿçîê ¬, N, ∨, ¢ êàê ñèìâîëîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ ëîãè÷åñêèõ
îïåðàöèé, äàííûå ôîðìóëû ïîëó÷àò îöåíêó 1 èëè 04 .
    Óêàçàííûå îöåíêè âûðàæåíèé ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè ïðè ðàçëè÷-
íûõ âîçìîæíûõ èíòåðïðåòàöèÿõ, à ìîãóò îêàçàòüñÿ è íåçàâèñÿùèìè îò
íèõ. Ïðàâèëà âûâîäà ïîäáèðàþò òàê, ÷òîáû ïðè èñòèííûõ ïîñûëêàõ
çàêëþ÷åíèå òàêæå îêàçûâàëîñü áû èñòèííûì. Òîãäà óñëîâèå èñòèí-
íîñòè àêñèîì ãàðàíòèðóåò èñòèííîñòü âñåõ òåîðåì. Ýòî  âàæíåéøåå
ñâîéñòâî ëîãè÷åñêèõ èñ÷èñëåíèé, îïðåäåëÿþùåå åãî êîððåêòíîñòü, ò.å.
èñòèííîñòü âûðàæåíèÿ â ñëó÷àå åãî âûâîäèìîñòè.
    Ñîãëàñíî äàííîìó âûøå îïðåäåëåíèþ, äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì â ëî-
ãè÷åñêîì èñ÷èñëåíèè îñóùåñòâëÿþò ÷èñòî ôîðìàëüíî, ðóêîâîäñòâóÿñü
òîëüêî àêñèîìàìè è ïðàâèëàìè âûâîäà.  ñâîþ î÷åðåäü, ñàìè ýòè äîêà-
çàòåëüñòâà ìîãóò áûòü ïðåäìåòîì èññëåäîâàíèÿ. Îäíàêî î íèõ è ñâîé-
ñòâàõ ëîãè÷åñêîãî èñ÷èñëåíèÿ â öåëîì ïðèõîäèòüñÿ ñíîâà ðàññóæäàòü
íåôîðìàëüíî, ñîäåðæàòåëüíî. Òàêèå ðàññóæäåíèÿ ïðîâîäÿò íà ìåòà-
ÿçûêå äàííîãî èñ÷èñëåíèÿ.  [8] îí íàçâàí ÿçûêîì èññëåäîâàòåëÿ â
îòëè÷èå îò ÿçûêà-îáúåêòà èëè ïðåäìåòíîãî ÿçûêà èñ÷èñëåíèÿ.
    Ïðè îáû÷íûõ ðàññóæäåíèÿõ ýòè ÿçûêè ÷àñòî ñìåøèâàþò è ðàññóæ-
äåíèÿ âåäóòñÿ íà îäíîì åñòåñòâåííîì ÿçûêå ñ èñïîëüçîâàíèåì òåõ èëè
èíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôîðìàëèçìîâ. Íàïðèìåð, â óòâåðæäåíèÿõ ¾Áî-
ðÿ  õîðîøèé ìàëü÷èê¿ è ¾Áîðÿ  ñëîâî èç ÷åòûð¼õ áóêâ¿ ñëîâî
¾Áîðÿ¿ â ïåðâîì ñëó÷àå ïðèíàäëåæèò ÿçûêó, à âî âòîðîì ñëó÷àå 
ìåòàÿçûêó.  åñòåñòâåííûõ ÿçûêàõ äëÿ òàêîãî ðàçëè÷åíèÿ ýëåìåíòû
îáúåêòíîãî ÿçûêà â ìåòàÿçûêå îáû÷íî çàêëþ÷àþò â êàâû÷êè. Êàê ãî-
âîðèë À. Òàðñêèé, âûñêàçûâàíèå ¾Ñíåã áåëûé¿ ïðèíàäëåæèò îáúåêò-
íîìó ÿçûêó, à âûñêàçûâàíèå ¾Óòâåðæäåíèå Ñíåã áåëûé èñòèííî¿ 
ìåòàÿçûêó. Àíàëîãè÷íî â ðóññêîì ó÷åáíèêå àíãëèéñêîãî ÿçûêà ïðåä-
ìåòíûì ÿçûêîì áóäåò àíãëèéñêèé, à ìåòàÿçûêîì  ðóññêèé5 . Çàìåòèì,
   4 Íà íà÷àëüíîì ïåðèîäå ðàçâèòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè ñèìâîëüíûå âûðàæå-
íèÿ ïîíèìàëèñü ñîäåðæàòåëüíî. Âïåðâûå ÷¼òêîå ðàçëè÷èå ìåæäó èñ÷èñëåíèåì è
åãî èíòåðïðåòàöèåé ïðîâ¼ë Ä. Ãèëüáåðò.
   5  óêàçàííîé ìîíîãðàôèè Ñ. Êëèíè ÷èòàåì: ¾Íåîáõîäèìî âñ¼ âðåìÿ ïîìíèòü
îá ýòîì ðàçëè÷èè ìåæäó (ïðåäìåòíîé) ëîãèêîé è ëîãèêîé, êàê ñðåäñòâîì òàêîãî
èçó÷åíèÿ (ò.å. ëîãèêîé èññëåäîâàòåëÿ). Òîìó, êòî íå ãîòîâ ê ýòîìó, ñòîèò ñðàçó
çàêðûòü ýòó êíèãó è ïîäûñêàòü ñåáå äðóãîå çàíÿòèå ïî âêóñó (ñêàæåì, ñîñòàâëåíèå