Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 46 стр.

46           Ãëàâà 2. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ãèëüáåðòîâñêèå ÈÂ


÷òî åñëè ñòðîãî ðàçëè÷àòü ïðåäìåòíûé è ìåòàÿçûêè, òî óòâåðæäåíèÿ
òèïà ïàðàäîêñà ëæåöà (ñì. ñ. 6) íå ìîãóò áûòü ñôîðìóëèðîâàíû. Òàê,
â ñàìîì óòâåðæäåíèè S =¾ß ëãó¿ ìåñòîèìåíèå ¾ß¿  ýëåìåíò ÿçûêà,
à ïðè ïîëó÷åíèè ñëåäñòâèé èç S ¾ß¿  ýëåìåíò ìåòàÿçûêà.
    Ñîâîêóïíîñòü ñôîðìóëèðîâàííûõ íà ìåòàÿçûêå äîêàçàííûõ óòâåð-
æäåíèé îòíîñèòåëüíî ñâîéñòâ ëîãè÷åñêîãî èñ÷èñëåíèÿ îáðàçóþò åãî
ìåòàòåîðèþ . Îñíîâíûìè âîïðîñàìè ìåòàòåîðèè ÿâëÿþòñÿ âûÿñíåíèå
òàêèõ ñâîéñòâ èñ÷èñëåíèÿ, êàê âîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ ïðîòèâîðå÷èÿ
(íåïðîòèâîðå÷èâîñòü); äîñòàòî÷íîñòü ñðåäñòâ äëÿ âûâîäà âñåõ âûðà-
æåíèé, îáëàäàþùèõ îïðåäåë¼ííûì ñâîéñòâîì (ïîëíîòà îòíîñèòåëüíî
äàííîãî ñâîéñòâà); ñóùåñòâîâàíèå àëãîðèòìà, âû÷èñëÿþùåãî ñâîéñòâî
¾áûòü âûâîäèìûì¿ ïðîèçâîëüíîãî âûðàæåíèÿ (ðàçðåøèìîñòü); çàâè-
ñèìîñòü îäíèõ àêñèîì èëè ïðàâèë âûâîäà îò äðóãèõ (íåçàâèñèìîñòü);
ñâÿçü ìåæäó èñ÷èñëåíèÿìè, ïîëó÷åííûìè ðàçëè÷íûìè ìîäèôèêàöèÿ-
ìè äàííîãî è äð. Â ïðèíöèïå, è ìåòàòåîðèþ ìîæíî ôîðìàëèçîâàòü,
ïîñòðîèâ íàä íåé ìåòàìåòàòåîðèþ è ò.ä.
    Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè Ä. Ãèëüáåðòîì è åãî øêîëîé â ñå-
ðèè ñòàòåé, îïóáëèêîâàííûõ â 20-õ ãã. XX â., áûëà âûäâèíóòà øèðîêàÿ
ïðîãðàììà, â ðàìêàõ êîòîðîé ïðåäëàãàëîñü ôîðìàëèçîâûâàòü ðàçëè÷-
íûå ìàòåìàòè÷åñêèå òåîðèè è ñðåäñòâàìè ìåòàòåîðèé óñòàíàâëèâàòü èõ
ñâîéñòâà (ïðåæäå âñåãî ýòî îòíîñèëîñü ê íåïðîòèâîðå÷èâîñòè êàê îñ-
íîâíîìó ñâîéñòâó òåîðèé). Äàííûå ìåòàòåîðèè ñîñòàâëÿëè óæå íîâóþ
ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ, íàçâàííóþ Ãèëüáåðòîì ìåòàìàòåìàòèêîé
èëè òåîðèåé äîêàçàòåëüñòâ . Ïðè ýòîì, ÷òîáû áûòü óáåäèòåëüíûìè,
äîêàçàòåëüñòâà â ìåòàìàòåìàòèêå äîëæíû áûëè îñóùåñòâëÿòüñÿ èñ-
êëþ÷èòåëüíî ïîëíîñòüþ ôîðìàëèçîâàííûìè, èíòóèòèâíî ñîâåðøåííî
ÿñíûìè êîíå÷íûìè ìåòîäàìè, íå èñïîëüçóþùèìè áåñêîíå÷íî äëèííûå
ôîðìóëû, ëîãè÷åñêèå ïðàâèëà ñ áåñêîíå÷íûì ìíîæåñòâîì ïîñûëîê,
êàíòîðîâñêóþ àêòóàëüíóþ áåñêîíå÷íîñòü è ïîäîáíûå ïîíÿòèÿ. Òàêèå
ìåòîäû áûëè íàçâàíû ôèíèòíûìè .
    Çäåñü ïðèä¼òñÿ ñäåëàòü íåáîëüøîå îòñòóïëåíèå. Àêòóàëüíàÿ (çà-
âåðø¼ííàÿ) áåñêîíå÷íîñòü ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâëÿòü áåñêîíå÷íûå ìíî-
æåñòâà êàê ñóùåñòâóþùèå îáúåêòû íåçàâèñèìî îò ïðîöåññà îáðàçîâà-
íèÿ âñåõ åãî ýëåìåíòîâ. Èíûìè ñëîâàìè, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî èìåþ-
ùèéñÿ ïðîöåññ, îáåñïå÷èâàþùèé â ïðåäåëå ïîñòðîåíèå ëþáîãî ýëåìåíòà
íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà M , çàâåäîìî íå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü âñå ýëåìåí-
òû M ñðàçó, ýòî ìíîæåñòâî ñ÷èòàåòñÿ ïîñòðîåííûì. Åñëè æå äîïóñêà-
åòñÿ èñïîëüçîâàòü óïîìÿíóòûé ïðîöåññ ëèøü îäíîêðàòíî (èëè, ÷òî òî-
æå, íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíîå ÷èñëî ðàç), òî ãîâîðÿò îá ïðèìåíåíèè ïðèíöè-
ïà ïîòåíöèàëüíîé îñóùåñòâèìîñòè, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü
ò.í. ïîòåíöèàëüíóþ áåñêîíå÷íîñòü. Íàïðèìåð, óòâåðæäåíèå ¾äàííîå
ìíîæåñòâî èìååò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ¿, ñòðîãî ãîâîðÿ, ñâèäå-
øàðàä èëè ï÷åëîâîäñòâî)¿.