Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 47 стр.

2. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé H                                                 47


òåëüñòâóåò, ÷òî ìû ñòîèì íà ïåðâîé òî÷êå çðåíèÿ, à ¾÷èñëî ýëåìåíòîâ
äàííîãî ìíîæåñòâà áîëüøå ëþáîãî íàïåðåä çàäàííîãî¿  ÷òî íà âòî-
ðîé6 .
   Óêàçàííûå âûøå ïîëîæåíèÿ è ñîñòàâëÿëè îñíîâó ïðîãðàììû Ãèëü-
áåðòà. Îäíàêî âñêîðå (1930, âòîðàÿ òåîðåìà üäåëÿ î íåïîëíîòå) âû-
ÿñíèëîñü, ÷òî äëÿ ôîðìàëüíîé àðèôìåòèêè è ëþáîé òåîðèè, å¼ ñî-
äåðæàùåé, âàæíåéøåå ñâîéñòâî íåïðîòèâîðå÷èâîñòè íåâîçìîæíî äîêà-
çàòü ôèíèòíûìè ìåòîäàìè. Êàê ïèñàë ñàì üäåëü, ¾ïðîãðàììà çàìå-
ùåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èíòóèöèè ïðàâèëàìè ôîðìàëüíîãî ïðåîáðàçî-
âàíèÿ ñèìâîëîâ íåðåàëèçóåìà¿. Òàêèì îáðàçîì, ïðîãðàììà Ãèëüáåðòà
îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè (ôèíèòíûìè ìåòîäàìè!) îêàçàëàñü íåâûïîë-
íèìîé7 .
   Îäíàêî íåçàâèñèìî îò ïðîáëåìû óñòàíîâëåíèÿ íåïðîòèâîðå÷èâîñòè,
ïðåäëîæåííûé Ãèëüáåðòîì ìåòîä ôîðìàëèçàöèè ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëü-
íûì â ñîâðåìåííîé òåîðèè äîêàçàòåëüñòâ.
   Äàëåå ìû ðàññìîòðèì íåñêîëüêî èñ÷èñëåíèé, ôîðìàëèçóþùèõ
êëàññè÷åñêóþ ëîãèêó C2 .


2 Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé H
    äàííîì ðàçäåëå ìû ïîñòðîèì êëàññè÷åñêîå èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçû-
âàíèé ò.í. ãèëüáåðòîâñêîãî òèïà , êîòîðîå íàçîâ¼ì H .

2.1 Ñèíòàêñèñ è ñåìàíòèêà ÈÂ H

Ñèíòàêñèñ. Êàê ÿñíî èç ïðåäûäóùåãî, ïîñòðîåíèå ëþáîãî èñ÷èñëå-
íèÿ íà÷èíàåòñÿ ñ çàäàíèÿ åãî ñèíòàêñèñà.
   6 Íåïðèÿòèå ó ìàòåìàòèêîâ ïîíÿòèÿ àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè âîñõîäèò ê çàÿâ-
ëåíèþ Ê. Ãàóññà (1831): ¾ß âîçðàæàþ... ïðîòèâ óïîòðåáëåíèÿ áåñêîíå÷íîé âåëè÷èíû
êàê ÷åãî-òî çàâåðø¼ííîãî, ÷òî íèêîãäà íå ïîçâîëèòåëüíî â ìàòåìàòèêå: ìîæíî ãîâî-
ðèòü î ïðåäåëàõ, ê êîòîðûì íåêîòîðûå âåëè÷èíû ïðèáëèæàþòñÿ êàê óãîäíî áëèçêî,
èëè î íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàþùèõ âåëè÷èíàõ¿. Çäåñü ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî
Ãàóññ ãîâîðèë î áåñêîíå÷íûõ âåëè÷èíàõ, à Êàíòîð  î áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâàõ.
   7 Ñóùíîñòü ðåâîëþöèîííûõ òåîðåì üäåëÿ ïî íåïîëíîòå ëîãè÷åñêèõ òåîðèé íåêî-
òîðîå âðåìÿ íå ïîíèìàëàñü àäåêâàòíî äàæå òàêèìè âûäàþùèìèñÿ ó÷¼íûìè, êàê
Á. Ðàññåë, Ý. Öåðìåëî è Ë. Âèòãåíøòåéí.
  Ãîâîðÿò, óçíàâ î ðåçóëüòàòàõ üäåëÿ, Ãèëüáåðò ¾ñèëüíî ðàññåðäèëñÿ¿. Íàïðî-
òèâ, Äæ. ôîí Íåéìàí, ÷èòàâøèé â òî âðåìÿ ëåêöèè â Ïðèíñòîíñêîì óíèâåðñèòåòå
(ÑØÀ) ïî âîïðîñàì îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè, ïîçíàêîìèâøèñü ñî ñòàòü¼é üäåëÿ,
ïåðåñòðîèë ïðîãðàììó êóðñà è îñòàâøååñÿ ëåêöèè ïîñâÿòèë èñêëþ÷èòåëüíî èçëî-
æåíèþ åãî ðåçóëüòàòîâ.
  Îòìåòèì, ÷òî ðåçóëüòàòû î íåïîëíîòå ëîãè÷åñêèõ òåîðèé áûëè íà 20 ëåò ðàíüøå
ïðåäâîñõèùèíû øâåäñêèì ëîãèêîì Ë. ˼âåíãåéìîì.