Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Al(H) H
p, q, . . . , z
¬
¡
¢
( )
¬)
¡
¢
H
A, B, . . .
H
F m(H) Al(H)
(¬ A) (A
¡
¢
B) A B
A
0
H
A
0
(¬ A) (A
¡
¢
B)
A, B
1
, . . . , B
n
A(x
1
, . . . , x
n
k B
1
, . . . , B
n
)
A = B
2
A B H
A
1
, A
2
, B
1
, B
2
(¬ A
1
) = (¬ A
2
) A
1
= A
2
(A
1
¡
¢
B
1
) = (A
2
¡
¢
B
2
) A
1
= A
2
B
1
= B
2
48            Ãëàâà 2. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ãèëüáåðòîâñêèå ÈÂ


     Àëôàâèò Al(H) èñ÷èñëåíèÿ H ñîñòàâëÿþò ñèìâîëû

     ˆ ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ïåðåìåííûõ: p, q, . . . , z (âîçìîæíî ñ èíäåê-
       ñàìè);
                                            ¡
     ˆ ïðèìèòèâíûõ ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê: ¬, ¢;
     ˆ âñïîìîãàòåëüíûå: (, )  ëåâàÿ è ïðàâàÿ êðóãëûå ñêîáêè.

Óêàçàííûå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè íàçûâàþò ïðèìèòèâíûìè, ïîñêîëüêó
òîëüêî îíè ïðèíàäëåæàò ê ñèìâîëàì çàäàâàåìîãî àëôàâèòà. Ïðè ýòîì
ìîãóò áûòü ââåäåíû è äðóãèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè, îïðåäåëÿåìûå ÷åðåç
ïðèìèòèâíûå. Çàìåòèì, ÷òî èñïîëüçóåìûå ïðèìèòèâíûå ëîãè÷åñêèå
ñâÿçêè, ïîíèìàåìûå êàê ñèìâîëû ñîîòâåòñòâóþùèõ ëîãè÷åñêèõ ôóíê-
öèé, îáðàçóþò ôóíêöèîíàëüíî ïîëíóþ ñèñòåìó (ò.í. èìïëèêàòèâíûé
áàçèñ ñ îäíîé óíàðíîé ( ¬) è îäíîé áèíàðíîé ( ¡¢) ëîãè÷åñêèìè ñâÿçêà-
ìè).
   Ìíîæåñòâî âûðàæåíèé H áóäóò ñîñòîÿòü èñêëþ÷èòåëüíî èç
ôîðìóë. Èõ ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîïèñíûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè
A, B, . . ., âîçìîæíî ñíàáæ¼ííûõ íèæíèìè íàòóðàëüíûìè èíäåêñàìè
(ïîíÿòíî, ÷òî ýòî  ìåòàñèìâîëû èñ÷èñëåíèÿ H ). Ïî îïðåäåëåíèþ,
ôîðìóëàìè èç F m(H) ÿâëÿþòñÿ ñòðîêè ñèìâîëîâ àëôàâèòà Al(H)
ñëåäóþùåãî âèäà:

       1) ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ïåðåìåííàÿ;
                      ¡
       2) (¬ A) è (A ¢ B), åñëè A è B  ôîðìóëû

è ôîðìóë äðóãîãî âèäà íåò.
   Ïðîïîçèöèîíàëüíûå ïåðåìåííûå íàçûâàþò ýëåìåíòàðíûìè èëè
àòîìàðíûìè ôîðìóëàìè. Ïåðåìåííûå, ðàññìàòðèâàåìûå êàê àòîìàð-
íûå ôîðìóëû, áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëàìè, ñíàáæ¼ííûìè íèæíèì
íóëåâûì èíäåêñîì (íàïðèìåð, A0 ). Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
ôîðìóëû  êîíå÷íûå öåïî÷êè ñèìâîëîâ, ëþáàÿ ôîðìóëà È H
âêëþ÷àåò â ñåáÿ êîíå÷íîå ÷èñëî ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ïåðåìåííûõ è
                                              ¡
èìååò âèä ëèáî A0 , ëèáî (¬ A), ëèáî (A ¢ B). Ïîíÿòíî òàêæå, ÷òî
åñëè A, B1 , . . . , Bn  ôîðìóëû, òî è A(x1 , . . . , xn k B1 , . . . , Bn ) 
òîæå ôîðìóëà. Íåàòîìàðíûå ôîðìóëû íàçûâàþò ìîëåêóëÿðíûìè .
   Ïîä çàïèñüþ A = B , òàê æå êàê è â C2 , áóäåì ïîíèìàòü ñèíòàê-
ñè÷åñêîå ðàâåíñòâî ôîðìóë A è B . Äëÿ ôîðìóë èñ÷èñëåíèÿ H , êàê
è äëÿ äðóãèõ ÿçûêîâ, ïîñòðîåííûõ àíàëîãè÷íî íà îñíîâå èíäóêòèâíûõ
ïðàâèë, ñïðàâåäëèâà ò.í.

Òåîðåìà 2.1 (Îá îòñóòñòâèè ðàçíî÷òåíèé). Ïóñòü A1 , A2 , B1 , B2 
ôîðìóëû, òîãäà åñëè (¬ A1 ) = (¬ A2 ), òî A1                   =    A2 ; åñëè
    ¡            ¡
(A1 ¢ B1 ) = (A2 ¢ B2 ), òî A1 = A2 è B1 = B2 .

Страницы