Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H
(¬ A) (A
¡
¢
B)
¤
A
0
L(H) H
A ∨ B
def
= ¬ A
¡
¢
B
A N B
def
= ¬ (A
¡
¢
¬ B)
A ≡ B
def
= (A
¡
¢
B) N(B
¡
¢
A)
H N ∨ ≡
def
= ∼
H
2
2
H N ∨ ≡
F m(H) = A
Ax(H) H
A1 A
¡
¢
(B
¡
¢
A)
A2 (A
¡
¢
(B
¡
¢
C))
¡
¢
((A
¡
¢
B)
¡
¢
(A
¡
¢
C))
A3 (¬ B
¡
¢
¬ A)
¡
¢
((¬ B
¡
¢
A)
¡
¢
B)
A B C F m(H)
H
Ax(H) H
2. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé H                                   49


Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçìîæíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ ëþáîé ìîëåêóëÿðíîé
                               ¡
ôîðìóëû â âèäå (¬ A) èëè (A ¢ B) ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ôîðìó-
ëû. Îñòà¼òñÿ ïîêàçàòü åäèíñòâåííîñòü òàêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ. Ýòî, â
ñâîþ î÷åðåäü, ñëåäóåò èç çàìå÷àíèÿ, ÷òî ïðè ñîâïàäåíèè äâóõ ñòðîê
ñèìâîëîâ ñîâïàäàþò è èõ ïîäñòðîêè, çàäàâàåìûå ëþáîé äàííîé ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòüþ ïîðÿäêîâûõ íîìåðîâ ñèìâîëîâ.                     ¤

   Äàëåå ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ââåä¼ííûìè âûøå ïðàâèëàìè ýêîíî-
ìèè ñêîáîê, ïîíÿòèÿìè ïîäôîðìóëû, ãëàâíîé ñâÿçêè ôîðìóëû è ò.ä.
Âåðõíèì íóëåâûì èíäåêñîì (íàïðèìåð, A0 ) áóäåì îáîçíà÷àòü ôèêñè-
ðîâàííûå â äàííîì ðàññìîòðåíèè, íî íåèçâåñòíûå ôîðìóëû.
   ßçûê L(H) èñ÷èñëåíèÿ H ïîñòðîåí. Ââåä¼ì òåïåðü ñëåäóþùèå ñî-
êðàùåíèÿ:
               def     ¡
     D1. A ∨ B = ¬ A ¢ B ;
               def      ¡
     D2. A N B = ¬ (A ¢ ¬ B) ;
                def  ¡¢        ¡
     D3. A ≡ B = (A B) N(B ¢ A) .
    Òàêèì îáðàçîì â H ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè N, ∨, è ≡ íå âõîäÿò â
àëôàâèò èñ÷èñëåíèÿ, íå ÿâëÿþòñÿ ïðèìèòèâíûìè, à îïðåäåëÿþòñÿ ÷å-
ðåç ïîñëåäíèå. Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî ýòè îïðåäåëåíèÿ êîððåêòíû â òîì
                                      def
ñìûñëå, ÷òî ïðè çàìåíå â íèõ çíàêà = íà ∼ è ïîíèìàíèè ëîãè÷å-
ñêèõ ñâÿçîê êàê ñèìâîëîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé, ïî-
ëó÷àþòñÿ âåðíûå ýêâèâàëåíòíîñòè. Àíàëîãè÷íî ìîãóò áûòü ââåäåíû
è äðóãèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè. Äàëåå, ñ îäíîé ñòîðîíû ÿñíî, ÷òî ëþáàÿ
ôîðìóëà èñ÷èñëåíèÿ H åñòü ôîðìóëà C2 . Ñ äðóãîé  ëþáóþ ôîðìó-
ëó èç C2 ìîæíî ñ÷èòàòü ôîðìóëîé H , åñëè ñâÿçêè N, ∨, è ≡ ïîíè-
ìàòü êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ñîêðàùåíèÿ D1D3. Ïîýòîìó ñ÷èòàåì, ÷òî
F m(H) = A.
    Àêñèîìû Ax(H) èñ÷èñëåíèÿ H îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèìè ñõåìà-
ìè:
               ¡     ¡
       A1. A ¢ (B ¢ A) ;
                ¡     ¡     ¡    ¡     ¡   ¡
       A2. (A ¢ (B ¢ C)) ¢ ((A ¢ B) ¢ (A ¢ C)) ;
                  ¡¢     ¡¢    ¡¢    ¡¢
       A3. (¬ B ¬ A) ((¬ B A) B) .
Êîíêðåòíûå àêñèîìû ïîëó÷àþò ïðè ïîäñòàíîâêå âìåñòî ìåòàñèìâîëîâ
A, B è C ëþáûõ ôîðìóë èç F m(H) (åñòåñòâåííî, äàííûé ñèìâîë â
êàæäîì âõîæäåíèè â ñõåìó çàìåíÿåòñÿ îäíîé è òîé æå ôîðìóëîé).
   Ìû âèäèì, ÷òî àêñèîìû H âûðàæàþò ëîãè÷åñêèå çàêîíû
óòâåðæäåíèÿ çàêëþ÷åíèÿ, ñàìîäèñòðèáóòèâíîñòè èìïëèêàöèè è
óòâåðæäåíèÿ ÷åðåç ïðîòèâîðå÷èå.  ñèëó çàäàíèÿ ÷åðåç ñõåìû, ìíî-
æåñòâî Ax(H) àêñèîì èñ÷èñëåíèÿ H áåñêîíå÷íî. Îäíàêî, î÷åâèäíî,
èìååòñÿ àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé äëÿ äàííîé ôîðìóëû îïðåäåëèòü,

Страницы