Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H
H
ϕ L(H)
ϕ
|A
0
|
ϕ
∈ { , }, |¬ A|
ϕ
= ¬|A|
ϕ
, |A
¡
¢
B|
ϕ
= |A|
ϕ
¡
¢
|B|
ϕ
,
|A|
ϕ
ϕ(A)
¬
¡
¢
A1 A3
H
ϕ
|A ∨ B| = |A| ∨ |B|, |A N B| = |A| N |B|, |A ≡ B| = |A| ≡ |B|.
|A
¡
¢
B| = ¬|A| ∨ |B| = ¬(|A| N ¬|B|)
ϕ
C
2
H C
2
P
P
A B P
¬A A ◦ B ◦
¡
¢
¬
¡
¢
|¬ A|
ϕ
= ⇔ |A|
ϕ
= , |A
¡
¢
B|
ϕ
= ⇔ |A|
ϕ
= |B|
ϕ
= .
2. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé H                                            51


Ñåìàíòèêà. Çàäàäèì òåïåðü ñåìàíòèêó èñ÷èñëåíèÿ H . Èíòåðïðåòà-
öèÿ ϕ ÿçûêà L(H) ñîïîñòàâëÿåò ñèìâîëàì ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê ñîîò-
âåòñòâóþùèå ëîãè÷åñêèå ôóíêöèè è ïðèïèñûâàåò êàæäîé ïðîïîçèöèî-
íàëüíîé ïåðåìåííîé êîíêðåòíîå èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå 0 èëè 1. Òàêèì
îáðàçîì, äëÿ ïðîèçâîëüíîé èíòåðïðåòàöèè ϕ ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå
ïðàâèëà îöåíêè ôîðìóë:
                                            ¡            ¡
     |A0 |ϕ ∈ { 0, 1 }, |¬ A|ϕ = ¬|A|ϕ , |A ¢ B|ϕ = |A|ϕ ¢ |B|ϕ ,
(êàê îáû÷íî, ïèøåì |A|ϕ âìåñòî ϕ(A) ). Îòìåòèì, ÷òî â äàííûõ ðà-
                                         ¡
âåíñòâàõ ñëåâà è ñïðàâà ñèìâîëû ¬ è ¢ èìåþò ðàçíûé ñìûñë: ñëå-
âà ýòî ñèìâîëû ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê, ò.å. íåêîòîðûå àáñòðàêòíûå çíàêè,
ñâîéñòâà êîòîðûõ îïèñûâàþòñÿ àêñèîìàìè A1A3 è ïðàâèëîì MP, à
ñïðàâà  ñèìâîëû ñîîòâåòñòâóþùèõ áóëåâûõ ôóíêöèé, îïðåäåëÿåìûõ
òàáëèöàìè èñòèííîñòè. Äàííûå ñèìâîëû åñòü ýëåìåíòû ñëåâà  ÿçûêà
èñ÷èñëåíèÿ H , à ñïðàâà  åãî ìåòàòåîðèè10 .
   Â ñîîòâåòñòâèè ñ D1D3 ñïðàâåäëèâû îöåíêè (èíäåêñ ϕ äëÿ ïðî-
ñòîòû îïóñêàåì)
 |A ∨ B| = |A| ∨ |B|,  |A N B| = |A| N |B|, |A ≡ B| = |A| ≡ |B|.
                        ¡
Òàêæå ïîíÿòíî, ÷òî |A ¢ B| = ¬|A| ∨ |B| = ¬(|A| N ¬|B|).
    Òàêèì îáðàçîì, êàæäàÿ ôîðìóëà â äàííîé èíòåðïðåòàöèè ϕ ïîëó-
÷àåò îäíîçíà÷íî îïðåäåë¼ííóþ èñòèííîñòíóþ îöåíêó. ßñíî, ÷òî ïðè-
âåä¼ííûå âûøå îïðåäåëåíèÿ  ôîðìàëèçàöèè àíàëîãè÷íûõ, äàííûõ â
ï. 1.1 äëÿ C2 . Â H èç C2 òàêæå ïåðåíîñÿòñÿ ïîíÿòèÿ âåðñèôèêàöèè,
ôàëüñèôèêàöèè, ìîäåëè è êîíòðìîäåëè ôîðìóë è íàáîðîâ ôîìóë.
    Ïðè îïðåäåëåíèè îöåíêè ïðèìåíÿëñÿ ïðèíöèï èíäóêöèè ïî ïîñòðî-
åíèþ ôîðìóëû. Êîíêðåòíåå, îí ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïóñòü òðåáóåòñÿ
äîêàçàòü, ÷òî âñå ôîðìóëû îáëàäàþò äàííûì ñâîéñòâîì P . Äëÿ ýòîãî
äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òî
  1) êàæäàÿ àòîìàðíàÿ ôîðìóëà îáëàäàåò ñâîéñòâîì P ;
  2) åñëè ôîðìóëû A è B îáëàäàþò ñâîéñòâîì P , òî èì îáëàäàþò
     è ôîðìóëû ¬A, A ◦ B , ãäå ◦  îäíà èç ïðèìèòèâíûõ áèíàðíûõ
     ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê.
                                                             ¡
 íàøåì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàëàñü åäèíñòâåííàÿ áèíàðíàÿ ñâÿçêà ¢.
   Ïðèâåä¼ííûé ïðèíöèï ïîçâîëÿåò òàêæå çàäàâàòü ôóíêöèè, îïðåäå-
ë¼ííûå íà ìíîæåñòâå ôîðìóë. Ïóñòü
 10 Ìû ìîãëè áû èçáåæàòü óêàçàííîé äâîéñòâåííîñòè ïîíèìàíèÿ ñèìâîëîâ ¬ è
 ¡¢
   , çàäàâ èíòåðïðåòàöèþ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
                                     ¡
        |¬ A|ϕ = 1 ⇔ |A|ϕ = 0 ,  |A ¢ B|ϕ = 0 ⇔ |A|ϕ = 1 è |B|ϕ = 0 .

Страницы