Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
0
F (A
0
)
F (¬A)
F (A ◦ B) ¬A A ◦ B ◦
A B F (A) F (B)
A F (A)
H
H
A Γ
Γ H
A
1
, . . . , A
l
H
A
l
= A
Γ
Γ
A Γ
A
Γ Γ ` A
Γ 0 A
H
52           Ãëàâà 2. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ãèëüáåðòîâñêèå ÈÂ


 1) êàæäîé àòîìàðíîé ôîðìóëå A0 ñîïîñòàâëåí íåêîòîðûé îáúåêò
    F (A0 );
 2) çàäàíû ïðàâèëà, îïðåäåëÿþùèå, êàêèå îáúåêòû F (¬A) è
    F (A ◦ B) ñîïîñòàâëÿþòñÿ ôîðìóëàì ¬A è A ◦ B ( ◦  îäíà èç
    ïðèìèòèâíûõ áèíàðíûõ ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê) ñîîòâåòñòâåííî, åñëè
    ôîðìóëàì A è B óæå ñîïîñòàâëåíû îáúåêòû F (A) è F (B).

Òîãäà äëÿ êàæäîé ôîðìóëû A îïðåäåë¼í îáúåêò F (A).
   Ïðè çàäàíèè èíòåðïðåòàöèè êàæäîé ôîðìóëå ÈÂ H áûëà ñîïî-
ñòàâëåíà ôóíêöèÿ å¼ îöåíêè.

2.2 Ñâîéñòâà âûâîäèìîñòè

  Ââåä¼ì âàæíîå ïîíÿòèå âûâîäèìîñòè ôîðìóëû èç íàáîðà ôîðìóë
ÈÂ H .

Îïðåäåëåíèå 2.2. Ôîðìóëà A íàçûâàåòñÿ âûâîäèìîé èç íàáîðà Γ
èëè ñëåäñòâèåì íàáîðà Γ ôîðìóë èñ÷èñëåíèÿ H , åñëè ñóùåñòâóåò êî-
íå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü A1 , . . . , Al ôîðìóë èñ÷èñëåíèÿ H òàêàÿ,
÷òî Al = A è êàæäûé ýëåìåíò ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åñòü ëèáî àê-
ñèîìà, ëèáî ïðèíàäëåæèò Γ, ëèáî ïðÿìî ñëåäóåò èç êàêèõ ëèáî ïðåäû-
äóùèõ ôîðìóë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî ïðàâèëó MP.
   Ôîðìóëû, ñîñòàâëÿþùèå Γ íàçûâàþò ãèïîòåçàìè . Óêàçàííàÿ ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàåòñÿ âûâîäîì ôîðìóëû A èç ãèïîòåç Γ. Âûâî-
äèìîñòü (âîçìîæíîñòü âûâîäà, à íå ñàì âûâîä) ôîðìóëû A èç íàáîðà
ãèïîòåç Γ çàïèñûâàþò êàê Γ ` A, à íåâûâîäèìîñòü (íåâîçìîæíîñòü
âûâîäà)  êàê Γ 0 A.

   Ïîä÷åðêí¼ì, ÷òî ñîâîêóïíîñòè ãèïîòåç ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ìóëü-
òèìíîæåñòâà ôîðìóë ÈÂ H (ñì. ñ. 23). Âî ìíîãèõ ïîñîáèÿõ è ìîíî-
ãðàôèÿõ ïîä òàêîé ñîâîêóïíîñòüþ òðàäèöèîííî ïîäðàçóìåâàþò (÷àñòî
êîíå÷íóþ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (èëè ñïèñîê) ôîðìóë11 . ßñíî, ÷òî â ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòè òà èëè èíàÿ ôîðìóëà òàêæå ìîæåò âñòðåòèòüñÿ íå
îäèí ðàç. Îäíàêî ïðè ýòîì òðåáóåòñÿ ââåäåíèå äîïîëíèòåëüíûõ ïðàâèë,
óñòàíàâëèâàþùèõ ýêâèâàëåíòíîñòü ñïèñêîâ, îòëè÷àþùèõñÿ ïîðÿäêîì
ôîðìóë è ÷èñëîì âõîæäåíèé äàííîé ôîðìóëû â ñïèñîê.  ñîâðåìåííîé
ëèòåðàòóðå (ñì., íàïðèìåð, [2, 10, 12, 18, 21]) ñîâîêóïíîñòè ãèïîòåç âñ¼
÷àùå ââîäÿòñÿ êàê ìíîæåñòâà ôîðìóë. Ýòî ñíèìàåò íåóäîáñòâà, ñâÿ-
çàííûå ñ ïîðÿäêîì ôîðìóë, íî ïðèâîäèò ê çàòðóäíåíèÿì, ñâÿçàííûì
ñ àêêóðàòíîé çàïèñüþ ðåçóëüòàòà äîáàâëåíèÿ íîâûõ ôîðìóë ê ìíîæå-
ñòâó ãèïîòåç (íåîáõîäèìî ïðîâåðÿòü, íå âõîäèò ëè óæå äàííàÿ ôîðìóëà
 11 Òðàäèöèÿ, èäóùàÿ îò Ä. Ãèëüáåðòà.

Страницы