Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Γ, A
1
, A
2
` B
Γ, A
2
, A
1
` B
Γ, A
2
, A
1
` B
Γ, A
1
, A
2
` B
Γ ` B
Γ, A ` B
Γ ` A A, ∆ ` B
Γ, ∆ ` B
A
B
A B
` A Γ, A ` B
Γ ` B
A
`
Γ ` A ∆ ` A
¡
¢
B
Γ, ∆ ` B
. (GMP )
56             Ãëàâà 2. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ãèëüáåðòîâñêèå ÈÂ

         Γ, A1 , A2 ` B
     3.                      ïåðåñòàíîâêà ãèïîòåç .
         Γ, A2 , A1 ` B
        Ïðàâèëî ñëåäóåò èç ïîíèìàíèÿ ñîâîêóïíîñòåé ãèïîòåç êàê
        ìóëüòèìíîæåñòâ: âûâîä Γ, A2 , A1 ` B åñòü â òî÷íîñòè âûâîä
        Γ, A1 , A2 ` B .
          Γ ` B
     4.                äîáàâëåíèå12 ãèïîòåçû (ðàçáàâëåíèå ãèïîòåç, ïðà-
        Γ, A ` B
        âèëî îñëàáëåíèÿ ).
        Ïðàâèëî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé ñâîéñòâà ìîíîòîí-
        íîñòè âûâîäèìîñòè.
        Γ ` A       A, ∆ ` B
     5.                           ïðàâèëî ñå÷åíèÿ (Cut).
               Γ, ∆ ` B
        Ïðàâèëî ñå÷åíèÿ ñëåäóåò èç ñâîéñòâà òðàíçèòèâíîñòè. Ãîâîðÿò,
        ÷òî â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ ïðàâèëà Cut ôîðìóëà A ¾âûñåêà-
        åòñÿ¿.
        Äàííîå ïðàâèëî îáîñíîâûâàåò ÷àñòî èñïîëüçóåìûé ïðè ìàòåìà-
        òè÷åñêèõ ðàññóæäåíèÿõ ïðè¼ì, êîãäà äëÿ äîêàçàòåëüñòâà B ñíà-
        ÷àëà äîêàçûâàþò ñïðàâåäëèâîñòü íåêîòîðîãî âñïîìîãàòåëüíîãî
        ôàêòà A, à çàòåì ñ åãî ïîìîùüþ ïîêàçûâàþò ñïðàâåäëèâîñòü B .
        Îáû÷íî òàêîå äîêàçàòåëüñòâî ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðîìåæóòî÷íî-
        ãî, íå èñïîëüçóåìîãî â îêîí÷àòåëüíîì óòâåðæäåíèè ðåçóëüòàòà,
        îêàçûâàåòñÿ çíà÷èòåëüíî ïðîùå ïðÿìîãî âûâîäà.
        ×àñòíûé ñëó÷àé äàííîãî ñâîéñòâà 
             ` A      Γ, A ` B
                   Γ ` B
        íàçûâàþò ïðàâèëîì óñòðàíåíèÿ òåîðåìû , èëè  åñëè A àêñèî-
        ìà  óñòðàíåíèÿ àêñèîìû .
        Ñõîäíûå ïðàâèëà èãðàþò öåíòðàëüíóþ ðîëü â òåîðèè äîêàçà-
        òåëüñòâ. Òàì äëÿ ðàçëè÷íûõ ñèñòåì íàòóðàëüíîãî âûâîäà, ãäå
        ñâîéñòâà çíàêà ` çàäàþòñÿ àêñèîìàòè÷åñêè, äîïóñòèìîñòü ïðà-
        âèëà Cut òðåáóåò äîâîëüíî ñëîæíîãî äîêàçàòåëüñòâà. Ýòî ñîñòàâ-
        ëÿåò ñîäåðæàíèå òåîðåì ¾î äîïóñòèìîñòè¿ èëè ¾îá óñòðàíåíèè¿
        ñå÷åíèÿ (ñì. ï. 2.3 ãëàâû 3).
     6. Âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâîì ìîíîòîííîñòè âûâîäèìîñòè, óáåæ-
        äàåìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ñëåäóþùåãî îáîáù¼ííîãî ïðàâèëà
        modus ponens:
                                               ¡
                               Γ ` A ∆ ` A ¢B
                                                  .             (GM P )
                                    Γ, ∆ ` B
  12 ×àñòî ýòî è àíàëîãè÷íûå ïðàâèëà â îòå÷åñòâåííîé ëèòåðàòóðå íàçûâàþò ¾óòîí-
÷åíèåì¿, ÷òî ÿâëÿåòñÿ íåòî÷íûì ïåðåâîäîì ñ íåìåöêîãî.

Страницы