Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 58 стр.

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МГУ | Москва

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` (¬ A
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¬ A A 7→ ¬A
(¬ A
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A) A3
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B, B
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C ` A
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C)
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C)) A1
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C)
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B)
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C)) A2
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¢
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A B C
Γ ` A
A
Γ
H
A3
((A
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B)
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A)
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¢
A
A3
A3
x + 5
58             Ãëàâà 2. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ãèëüáåðòîâñêèå ÈÂ


Ïðèìåð 2.1.     Ïðèâåä¼ì âûâîäû ôîðìóë, èìåþùèõ îáùóþ ñòðóêòóðó.
               ¡¢   ¡
     1. ` (¬ A A) ¢ A
                     ¡
        (1) ` ¬ A ¡ ¢ ¬ A ¡  ïî ëåììå
                                    ¡   ¡ 2.1 ñ ïîäñòàíîâêîé A 7→ ¬A
        (2) (¬ A ¢¡ ¬ A) ¡ ¢ ((¬ A ¢ A) ¢ A)     ñõåìà àêñèîì A3
        (3) (¬ A ¢ A) ¢ A         ïî MP èç (1) è (4)
            ¡       ¡          ¡
     2. A ¢ B, B ¢ C ` A ¢ C  ïðàâèëî ñèëëîãèçìà (Syll)
                      ¡¢
        (1)   B          ¡¢C         ¡¢ ãèïîòåçà
                                            ¡¢     ¡¢
        (2)   (B   ¡¢ C)        ¡¢ (A (B C))  ñõåìà A1
        (3)   A        ¡¢(B       ¡¢C)       ¡¢ ïî MP¡¢ èç ¡¢(1) è ¡¢(4)
        (4)   (A        ¡¢ (B       ¡¢C)) ¡¢ ((A B) (A C))  ñõåìà A2
        (5)   (A    ¡¢ B)               (A C)  ïî MP èç (3) è (4)
        (6)   A      ¡¢ B             ãèïîòåçà
        (7)   A            C         ïî MP èç (5) è (6)
    ïðèâåä¼ííûõ âûâîäàõ êàæäûé èç ìåòàñèìâîëîâ A, B è C ìîæåò
áûòü çàìåí¼í íà êîíêðåòíóþ ôîðìóëó.  ñèëó ýòîãî ìîæíî ãîâîðèòü
óæå íå î ñõåìàõ, à î ñîîòâåòñòâóþùèõ ôîðìóëàõ, ÷òî ìû è áóäåì èíî-
ãäà äåëàòü13 .  ÷àñòíîñòè, ïðè ðàññìîòðåíèè âûâîäîâ âèäà Γ ` A ïîä
ìåòàñèìâîëîì A âñåãäà áóäåò ïîäðàçóìåâàòüñÿ êîíêðåòíàÿ ôîðìóëà,
ïîñêîëüêó Γ åñòü ñîâîêóïíîñòü èìåííî ôîðìóë, à íå ñõåì. Äîêàçàííûå
ïðàâèëà (òàêèå êàê Syll) ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå ïðîèçâîä-
íûõ ïðàâèë è ñòðîèòü, âîîáùå ãîâîðÿ, ñõåìû êâàçèâûâîäîâ , íå äîâîäÿ
èõ äî âûâîäîâ â ñòðîãîì ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 2.2.

2.3 Òåîðåìà î äåäóêöèè

   Ìû âèäåëè, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî äàæå ïðîñòûõ òåîðåì â H ñîïðÿ-
æåíî ñî çíà÷èòåëüíûìè òðóäíîñòÿìè, ïîñêîëüêó âèä ôîðìóëû íå äà¼ò
âîçìîæíîñòè îïðåäåëèòü âîçìîæíûé õîä å¼ äîêàçàòåëüñòâà. Íàïðèìåð,
íè çàêîí òîæäåñòâà, íè ïðàâèëî ñèëëîãèçìà íå ñîäåðæàò çíàêà îòðè-
öàíèÿ, è ïðè èõ âûâîäå ñõåìà àêñèîì A3 (åäèíñòâåííàÿ, ñîäåðæàùàÿ
                                               ¡     ¡    ¡
ýòîò çíàê) íå èñïîëüçîâàëàñü. Çàêîí Ïèðñà ((A ¢ B) ¢ A) ¢ A òàêæå
íå ñîäåðæèò çíàêà îòðèöàíèÿ. Êàçàëîñü áû, äëÿ åãî âûâîäà ñõåìà A3
íå ïîíàäîáèòñÿ. Îäíàêî ýòî íå òàê, è ïîýòîìó îòñóòñòâèå çíàêà îòðè-
öàíèÿ â ôîðìóëå èëè ïðàâèëå íå ìîæåò ãàðàíòèðîâàòü, ÷òî ñõåìà A3
íå ïîòðåáóåòñÿ ïðè èõ äîêàçàòåëüñòâå.
   Ê ñ÷àñòüþ, èìååòñÿ çàìå÷àòåëüíàÿ (ìåòà)òåîðåìà, ñèëüíî óïðîùàþ-
ùàÿ ïðîöåññ ôîðìàëüíîãî äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóë è ïðîèçâîäíûõ ïðà-
âèë âûâîäà. Îíà îáîñíîâûâàåò ÷àñòî èñïîëüçóåìûé ïðè¼ì, êîãäà äëÿ
 13 Êàê çàìå÷åíî â [4]: ¾ãîâîðèì æå ìû ÷èñëî x + 5¿.

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