Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Γ ` A
¡
¢
B
¤
B ` A
¡
¢
B
Γ ` A
¡
¢
B A
Γ, A ` B
Γ ` A
¡
¢
B ⇔ Γ, A ` B.
H
Γ, A ` B
Γ ` A
¡
¢
B
A1 A2
A
¡
¢
A
Γ = ∅
A ` B
` A
¡
¢
B
,
Γ, A
1
, . . . , A
m
` B
Γ ` A
1
¡
¢
(A
2
¡
¢
(. . .
¡
¢
(A
m
¡
¢
B) . . . ))
. (GDT)
H
A
¡
¢
(B
¡
¢
C), B ` A
¡
¢
C
A
¡
¢
(B
¡
¢
C)
A
B
¡
¢
C
60            Ãëàâà 2. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ãèëüáåðòîâñêèå ÈÂ

               ¡¢
(l+5) Γ ` A       B    ïî MP èç (3) è (4)
     Òàêèì îáðàçîì, âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷åí òðåáóåìûé âûâîä.              ¤

   Çàìåòèì, ÷òî â ïðè ðàññìîòðåíèè ñëó÷àåâ (a) è (b) ìû äîêàçàëè
                     ¡
âûâîäèìîñòü B ` A ¢ B  ñâîéñòâî ñàìîäîñòàòî÷íîñòè ãèïîòåçû.
   Òåîðåìà RDT, îáðàòíàÿ ê DT, òàêæå ñïðàâåäëèâà: ê âûâîäó
          ¡
Γ ` A ¢ B äîáàâëÿåì ãèïîòåçó A è ïî ïðàâèëàì òðèâèàëüíîé
âûâîäèìîñòè è MP ïîëó÷àåì Γ, A ` B . Ïîýòîìó òåîðåìó î äåäóêöèè
èíîãäà ôîðìóëèðóþò â âèäå
                             ¡
                       Γ ` A ¢ B ⇔ Γ, A ` B.

   Ïîíÿòíî ÷òî, DT ÿâëÿåòñÿ ìåòàòåîðåìîé, îïèñûâàþùåé ñîîòíîøå-
íèÿ ìåæäó âûâîäàìè â H . Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î äåäóêöèè êîí-
ñòðóêòèâíî: äëÿ èìåþùåãîñÿ âûâîäà Γ, A ` B óêàçûâàåòñÿ ñïîñîá
                            ¡
ïîñòðîåíèÿ âûâîäà Γ ` A ¢ B . Çàìåòèì, ÷òî ñïðàâåäëèâîñòü òåîðå-
ìû äåäóêöèè ñëåäóåò òîëüêî èç ñõåì àêñèîì A1 è A2 (èñïîëüçîâàëàñü
            ¡
òåîðåìà A ¢ A, íî äëÿ å¼ âûâîäà òàêæå òðåáóþòñÿ òîëüêî ýòè ñõåìû).
Äàííûå àêñèîìíûå ñõåìû ñïåöèàëüíî ïîäîáðàíû òàê, ÷òîáû ìîæíî áû-
ëî ïðîâåñòè äîêàçàòåëüñòâî DT áåç çàòðóäíåíèÿ14 .
   ×àñòíûì ñëó÷àåì DT ïðè Γ = ∅ ÿâëÿåòñÿ ñõåìà
                                 A `    B
                                       ¡¢ ,
                                ` A      B
à îáîáùåíèåì  äîêàçûâàåìàÿ ìíîãîêðàòíûì ïðèìåíåíèåì DT îáîá-
ù¼ííàÿ òåîðåìà äåäóêöèè GDT
                       Γ, A1 , . . . , Am ` B
                       ¡      ¡         ¡     ¡           .         (GDT )
                Γ ` A1 ¢ (A2 ¢ (. . . ¢ (Am ¢ B) . . . ))

   ßñíî òàêæå, ÷òî DT, RDT è GDT  íîâûå äîïóñòèìûå ïðàâèëà
âûâîäà.
Ïðèìåð 2.2. Ïðèâåä¼ì ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ òåîðåìû î äåäóêöèè
ïðè âûâîäå òåîðåì ÈÂ H .
         ¡     ¡         ¡
  1. A ¢ (B ¢ C), B ` A ¢ C
             ¡    ¡
       (1) A ¢ (B ¢ C)   ãèïîòåçà
       (2) A  ãèïîòåçà (íîâàÿ)
             ¡
       (3) B ¢ C   ïî MP èç (1) è (2)
  14 Òåîðåìà î äåäóêöèè âïåðâûå ÿâíî ñôîðìóëèðîâàíà è äîêàçàíà Æ. Ýðáðàíîì â
åãî äèññåðòàöèè (1928). À. Òàðñêèé ñîîáùàë, ÷òî çíàë è ïðèìåíÿë å¼ ñ 1921 ã.

Страницы