Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 61 стр.

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МГУ | Москва

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H
B
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C), B, A ` C
A
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C), B ` A
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¬ A, A ` B
¬ A ` A
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B DT
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B)
2. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé H                                      61


     (4) B    ãèïîòåçà
     (5) C    ïî MP èç (3) è (4)
                          ¡    ¡
    Ìû ïîêàçàëè, ÷òî A ¢ (B ¢ C), B, A ` C . Îòñþäà, ïðèìåíÿÿ
                                  ¡   ¡           ¡
    òåîðåìó äåäóêöèè, ïîëó÷àåì A ¢ (B ¢ C), B ` A ¢ C .
                 ¡¢
  2. ` ¬¬ A         A    çàêîí (ñíÿòèÿ) äâîéíîãî îòðèöàíèÿ
                  ¡       ¡       ¡      ¡
     (1)   (¬ A ¢ ¬¬ A) ¢ ((¬ A ¢ ¬ A) ¢ A)     ñõåìà àêñèîì A3 ñ
           ïîäñòàíîâêàìè
                      ¡
     (2)   ` ¬ A ¢ ¬ A  ïî ðàíåå äîêàçàííîìó ñ ïîäñòàíîâêàìè
                 ¡¢       ¡
     (3)   (¬ A ¬¬ A) ¢ A  ïî (1), (2) è äîêàçàííîìó â ï. 1 äàí-
           íîãî ïðèìåðà
                    ¡    ¡
     (4)   ¬¬ A ¢ (¬ A ¢ ¬¬ A)  ñõåìà àêñèîì A1
                   ¡
     (5)   ¬¬ A ¢ A  ïî ïðàâèëó Syll èç (3) è (4)
             ¡¢
  3. ` A        ¬¬ A       îáðàòíûé çàêîí äâîéíîãî îòðèöàíèÿ
                     ¡¢        ¡        ¡    ¡
     (1)   (¬¬¬ A ¬ A) ¢ ((¬¬¬ A ¢ A) ¢ ¬¬ A)           ñõåìà àêñèîì
           A3 ñ ïîäñòàíîâêàìè
                        ¡
     (2)   ` ¬¬¬ A ¢ ¬ A  äîêàçàííûé çàêîí ñíÿòèÿ äâîéíîãî îò-
           ðèöàíèÿ
                      ¡      ¡
     (3)   (¬¬¬ A ¢ A) ¢ ¬¬ A        ïî èç (1) è (2)
               ¡¢          ¡¢
     (4)   A      (¬¬¬ A A)  ñõåìà àêñèîì A1
                ¡
     (5)   A ¢ ¬¬ A  ïî ïðàâèëó Syll èç (3) è (4)
              ¡¢    ¡
  4. ` ¬ A       (A ¢ B)    çàêîí îòðèöàíèÿ àíòåöåäåíòà

     (1)   ¬ A  ãèïîòåçà
     (2)   A  ãèïîòåçà
               ¡         ¡
     (3)   A ¢ (¬ B ¢ A)  ñõåìà àêñèîì A1
                 ¡¢          ¡
     (4)   ¬ A (¬ B ¢ ¬ A)  ñõåìà àêñèîì A1
                  ¡¢
     (5)   ¬B          A  ïî ÌÐ èç (2) è (3)
                   ¡
     (6)   ¬ B ¢ ¬ A  ïî ÌÐ èç (1) è (1)
                    ¡         ¡    ¡   ¡
     (7)   (¬ B ¢ ¬ A) ¢ ((¬ B ¢ A) ¢ B)  ñõåìà àêñèîì A3
                    ¡¢    ¡¢
     (8)   (¬ B A)           B   ïî ÌÐ èç (6) è (7)
     (9)   B      ïî ÌÐ èç (5) è (8)
    Èòàê, ïîêàçàíî, ÷òî ¬ A, A ` B , îòêóäà ïî òåîðåìå äåäóê-
                              ¡
    öèè ïîëó÷àåì ¬ A ` A ¢ B . Åù¼ ðàç ïðèìåíÿÿ DT , èìååì
           ¡¢   ¡¢
    ` ¬ A (A B).
    ¾×èòàòåëü ïðîíèêíåòñÿ áîëüøîé ëþáîâüþ ê òåîðåìå î äåäóê-
    öèè, åñëè îí ïîïûòàåòñÿ ïðîâåñòè äîêàçàòåëüñòâî çàêîíà îò-
    ðèöàíèÿ àíòåöåäåíòà íå ïðèáåãàÿ ê ïîìîùè ýòîé òåîðåìû ¿ [14].

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