Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 62 стр.

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МГУ | Москва

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` (¬ B
¡
¢
¬ A)
¡
¢
(A
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B)
A
A
¡
¢
(¬ B
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A) A1
¬ B
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B) A3
(¬ B
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B
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B)
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A
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¢
B ` ¬ B
¡
¢
¬ A
H
` ²
H
2
A ` B
A H
A ` B
B ` A A = B
'
A ' B ⇔ A ` B B ` A .
62              Ãëàâà 2. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ãèëüáåðòîâñêèå ÈÂ

               ¡        ¡¢    ¡
     5. ` (¬ B ¢ ¬ A)      (A ¢ B)    îáðàòíûé çàêîí êîíòðàïîçèöèè

        (1)   A  ãèïîòåçà
                  ¡        ¡
        (2)   A ¢ (¬ B ¢ A)  ñõåìà àêñèîì A1
                    ¡¢
        (3)   ¬B         A  ïî MP èç (1) è (2)
                     ¡
        (4)   ¬ B ¢ ¬ A  ãèïîòåçà
                      ¡        ¡    ¡    ¡
        (5)   (¬ B ¢ ¬ A) ¢ ((¬ B ¢ A) ¢ B)  ñõåìà àêñèîì A3
                      ¡¢    ¡¢
        (6)   (¬ B A)          B  ïî MP èç (4) è (5)
        (7)   B      ïî MP èç (3) è (6)
       Äàëåå, äâàæäû ïðèìåíÿÿ DT , ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.
             ¡       ¡¢     ¡
     6. ` (A ¢ B)       (¬B ¢ ¬A)     çàêîí êîíòðàïîçèöèè
                ¡
        (1) A ¢B         ãèïîòåçà
                       ¡
        (2) ` ¬¬ A ¢ A  çàêîí ñíÿòèÿ äâîéíîãî îòðèöàíèÿ
                     ¡
        (3) ¬¬ A ¢ B        ïî ïðàâèëó Syll èç (1) è (2)
                   ¡¢
        (4) ` B       ¬¬ B    îáðàòíûé çàêîí äâîéíîãî îòðèöàíèÿ
                     ¡
        (5) ¬¬ A ¢ ¬¬ B        ïî ïðàâèëó Syll èç (3) è (4)
                        ¡        ¡     ¡
        (6) ` (¬¬ A ¢ ¬¬ B) ¢ (¬ B ¢ ¬ A)         äîêàçàííûé çàêîí îá-
            ðàòíîé êîíòðàïîçèöèè
                  ¡
        (7) ¬ B ¢ ¬ A       ïî ÌÐ èç (5) è (6)
                                 ¡          ¡
       Èòàê, ïîêàçàíî, ÷òî A ¢ B ` ¬ B ¢ ¬ A. Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó äå-
       äóêöèè, ïîëó÷èì äîêàçàòåëüñòâî òðåáóåìîãî çàêîíà.
   Èç ïðèìåðîâ äîëæíî áûòü âèäíî, ÷òî òåîðåìà äåäóêöèè  ìîùíîå
ñðåäñòâî, çíà÷èòåëüíî îáëåã÷àþùåå ïîñòðîåíèå âûâîäîâ â H .
   Îáðàòèì òàêæå âíèìàíèå, ÷òî ïðè çàìåíå çíàêà ` íà ² ïðèâå-
ä¼ííûå äîêàçàííûå âûðàæåíèÿ H ñòàíîâÿòñÿ âåðíûìè ëîãè÷åñêèìè
ñëåäîâàíèÿìè â C2 (â ÷àñòíîñòè, òåîðåìû ÿâëÿþòñÿ òàâòîëîãèÿìè).

2.4 Äåäóêòèâíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü

   Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âûâîäèìîñòè âèäà A ` B åñòü îïèñûâàþò îòíî-
øåíèå ïðåäïîðÿäêà íà ìíîæåñòâå ôîðìóë A ÈÂ H . Äåéñòâèòåëüíî,
åãî ðåôëåêñèâíîñòü åñòü ïðàâèëî òðèâèàëüíîé âûâîäèìîñòè, à òðàíçè-
òèâíîñòü ñëåäóåò èç ïðàâèëà ñå÷åíèÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç A ` B è
B ` A íå ñëåäóåò, ÷òî A = B .
   Íà îñíîâå äàííîãî ïðåäïîðÿäêà îáû÷íûì îáðàçîì ïîñòðîèì îòíî-
øåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ', îòîæäåñòâèâ ôîðìóëû, êàæäàÿ èç êîòîðûõ
âûâîäèòñÿ èç äðóãîé:

                        A ' B ⇔ A ` B è B ` A.

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