Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 63 стр.

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МГУ | Москва

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H
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A [A]
A ' ¬¬ A
` ¬¬ A
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A ` A
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¢
¬¬ A
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A ' A
1
B ' B
1
¬ A ' ¬ A
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(A
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B) ' (A
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B
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¬ A ` ¬ A
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` A B ` B
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¬ A ` ¬ A
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B, A
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B ` B
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B
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A
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B, A
1
` B
1
A
¡
¢
B ` A
1
¡
¢
B
1
¤
F, A, B H A F
A ' B ⇒ F ' F (A | B) .
2. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé H                                  63


Ïîíÿòíî, ÷òî ðåôëåêñèâíîñòü è òðàíçèòèâíîñòü îòíîøåíèÿ ' íàñëå-
äóþòñÿ îò ðàññìîòðåííîãî ïðåäïîðÿäêà, à ñâîéñòâî ñèììåòðè÷íîñòè
ïðèîáðåòàåòñÿ ïî äàííîìó îïðåäåëåíèþ. Áóäåì íàçûâàòü ' îòíîøå-
íèåì äåäóêòèâíîé ýêâèâàëåíòíîñòè . Êëàññ ôîðìóë, äåäóêòèâíî ýê-
âèâàëåíòíûõ ôîðìóëå A îáîçíà÷àåì äàëåå [A].
Ïðèìåð 2.3. Ñïðàâåäëèâà ýêâèâàëåíòíîñòü A ' ¬¬ A. Äëÿ å¼ äîêàçà-
òåëüñòâà ïðèìåíÿåì îáðàòíóþ òåîðåìó äåäóêöèè ê çàêîíàì äâîéíîãî
                   ¡         ¡
îòðèöàíèÿ ` ¬¬ A ¢ A è ` A ¢ ¬¬ A.
   Ïîêàæåì, ÷òî äåäóêòèâíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ñîõðàíÿåòñÿ ïîä âîç-
äåéñòâèåì ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê ÿçûêà È H . Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî
ñïðàâåäëèâà

Ëåììà 2.2. Åñëè A ' A1 è B ' B1 òî ¬ A ' ¬ A1 è
   ¡          ¡
(A ¢ B) ' (A1 ¢ B1 ).

Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ñëåäî-
                     ¡        ¡
âàíèÿ ¬ A ` ¬ A1 è A ¢ B ` A1 ¢ B1 â óñëîâèÿõ A1 ` A è B ` B1 .

¬ A ` ¬ A1

     (1)   A1 ` A  ïðåäïîëîæåíèå
               ¡
     (2)   A1 ¢ A  ïî DT èç (1)
                   ¡  ¡      ¡
     (3)   ` (A1 ¢ A) ¢ (¬ A ¢ ¬ A1 )  êîíòðàïîçèöèÿ
                ¡¢
     (4)   ¬ A ¬ A1     ïî MP èç (2) è (3)
     (5)   ¬ A ` ¬ A1    ïî RDT èç (4)
  ¡        ¡
A ¢ B ` A1 ¢ B1

     (1)   A1 ` A  ïðåäïîëîæåíèå
              ¡        ¡
     (2)   A ¢B ` A ¢B       òðèâèàëüíàÿ âûâîäèìîñòü
              ¡¢
     (3)   A B, A1 ` B      ïî GMP èç (1) è (2)
     (4)   B ` B1     ïðåäïîëîæåíèå
               ¡
     (5)   B ¢ B1    ïî DT èç (4)
               ¡
     (6)   A ¢ B, A1 ` B1    ïî GMP èç (3) è (5)
               ¡         ¡
     (7)   A ¢ B ` A1 ¢ B1     ïî DT èç (6)

Îáà ñëåäîâàíèÿ óñòàíîâëåíû.                                   ¤


Òåîðåìà 2.4 (Î çàìåíå äåäóêòèâíî ýêâèâàëåíòíûõ). Ïóñòü
F, A, B  ôîðìóëû È H , ïðè÷¼ì A  ïîäôîðìóëà F . Òîãäà

                        A ' B ⇒ F ' F (A | B) .

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