Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H
H
¤
A H ` A
` ¬ A
H
¤
I ¬
A
0
∈ F m(I)
`
I
A
0
`
I
¬ A
0
H
¬ A
¡
¢
(A
¡
¢
B)
Γ A Γ `
H
A ⇒ Γ ²
2
A
Γ ` A Γ ² A
Γ
∆ = {A
1
, . . . , A
m
} ⊆ Γ ∆ ` A
` A
1
¡
¢
(A
2
¡
¢
. . .
¡
¢
(A
m
¡
¢
A) . . . )
² A
1
¡
¢
(A
2
¡
¢
. . .
¡
¢
(A
m
¡
¢
A) . . . )
ϕ Γ
|A
i
|
ϕ
= i = 1, m
|A
1
¡
¢
(A
2
¡
¢
. . .
¡
¢
(A
m
¡
¢
A) . . . )|
ϕ
=
|A|
ϕ
= ¤
3. Ìåòàòåîðèÿ ÈÂ H                                                         65


Äîêàçàòåëüñòâî (ïî äëèíå âûâîäà). Ëåãêî ïðîâåðÿòñÿ, ÷òî ëþáàÿ
ôîðìóëà, ÿâëÿþùàÿñÿ àêñèîìîé ÈÂ H åñòü òàâòîëîãèÿ, à ïðàâèëî
âûâîäà MP, êàê àíàëîã ñîîòâåòñòâóþùåãî ëîãè÷åñêîãî ïðàâèëà, ïðè
èñòèííûõ ïîñûëêàõ âñåãäà ïðèâåä¼ò ê èñòèííîìó çàêëþ÷åíèþ.     ¤


Ñëåäñòâèå. Íè äëÿ êàêîé ôîðìóëû A èñ÷èñëåíèÿ H ñâîéñòâà ` A
è ` ¬ A íå âûïîëíÿþòñÿ îäíîâðåìåííî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè áû â H îêàçàëèñü âûâîäèìû íåêîòîðàÿ ôîð-
ìóëà è å¼ îòðèöàíèå, òî îáå îíè, â ñèëó êîððåêòíîñòè, äîëæíû áûòü
òàâòîëîãèÿìè, ÷òî íåâîçìîæíî.                                   ¤

   Âàæíåéøèì ñâîéñòâîì ëîãè÷åñêîãî èñ÷èñëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ åãî íåïðî-
òèâîðå÷èâîñòü.

Îïðåäåëåíèå 2.4. Èñ÷èñëåíèå I , ñîäåðæàùåå îòðèöàíèå (ñèìâîë ¬),
íàçûâàåòñÿ ïðîòèâîðå÷èâûì , åñëè ñóùåñòâóåò ôîðìóëà A0 ∈ F m(I)
äëÿ êîòîðîé îäíîâðåìåííî è `I A0 , è `I ¬ A0 .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå
èñ÷èñëåíèå íåïðîòèâîðå÷èâî .

   Âûøåïðèâåä¼ííîå ñëåäñòâèå òåîðåìû 2.5 äîêàçûâàåò íåïðîòèâîðå-
÷èâîñòü È H .
   Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî èñ÷èñëåíèÿ ñ âûâîäèìûì çàêîíîì îòðè-
                       ¡    ¡
öàíèÿ àíòåöåäåíòà ¬ A ¢ (A ¢ B) è ïðàâèëîì MP íåïðîòèâîðå÷èâîñòü
ýêâèâàëåíòíà ñóùåñòâîâàíèþ ôîðìóëû, íå ÿâëÿþùåéñÿ òåîðåìîé. Ýòî
âòîðîå îïðåäåëåíèå íåïðîòèâîðå÷èâîñòè èñ÷èñëåíèÿ îáëàäàåò íàèáîëü-
øåé îáùíîñòüþ, ïîñêîëüêó ïðèìåíèìî è ê èñ÷èñëåíèÿì, íå ñîäåðæà-
ùèì çíàêà îòðèöàíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî ýêâèâàëåíòíîñòè äâóõ îïðåäå-
ëåíèé íåïðîòèâîðå÷èâîñòè â óêàçàííûõ óñëîâèÿõ ýëåìåíòàðíî.

Òåîðåìà 2.6 (Îá îáîáù¼ííîé êîððåêòíîñòè È H ). Äëÿ ëþáûõ
íàáîðà ôîðìóë Γ è ôîðìóëû A ñïðàâåäëèâî Γ `H A ⇒ Γ ²C2 A.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Γ ` A è äîêàæåì, ÷òî òîãäà Γ ² A. Åñëè
ìíîæåñòâî ôîðìóë Γ ïðîòèâîðå÷èâî, òî óòâåðæäåíèå òðèâèàëüíî.
   Èíà÷å, ïî ñâîéñòâó ôèíèòàðíîñòè âûâîäèìîñòè ñóùåñòâóåò êîíå÷-
íîå ìíîæåñòâî ∆ = {A1 , . . . , Am } ⊆ Γ òàêîå, ÷òî ∆ ` A. Ïî îáîá-
                                              ¡    ¡      ¡      ¡
ù¼ííîé òåîðåìå î äåäóêöèè èìååì ` A1 ¢ (A2 ¢ . . . ¢ (Am ¢ A) . . . ),
                                             ¡¢    ¡¢     ¡¢     ¡
îòêóäà, â ñèëó êîððåêòíîñòè  ² A1 (A2                ...    (Am ¢ A) . . . ).
Ïóñòü ϕ  èíòåðïðåòàöèÿ, ïðè êîòîðîé âñå ôîðìóëû èç Γ îöåíè-
âàþòñÿ êàê èñòèííûå.  ÷àñòíîñòè, |Ai |ϕ = 1, i = 1, m. Òàê êàê
     ¡     ¡      ¡     ¡
|A1 ¢ (A2 ¢ . . . ¢ (Am ¢ A) . . . )|ϕ = 1, òî, èñïîëüçóÿ èñòèííîñòíóþ
òàáëèöó äëÿ îïåðàöèè èìïëèêàöèè, ïîëó÷àåì |A|ϕ = 1.                         ¤

Страницы