Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H
h B, t, u,
0
, v, o, ι i
D ⊆ B
F 1 a ∈ D a v b ⇒ b ∈ D
F 2 a, b ∈ D ⇒ (a u b) ∈ D
D 6= B D
B
F 3 a ∈ B ⇒ a ∈ D a
0
∈ D
F 4 (a t b) ∈ D ⇒ a ∈ D b ∈ D
F 5
B
F 1
F 1
0
a ∈ D b ∈ B ⇒ a t b ∈ D
F 6 a ∈ D ⇒ a
0
6∈ D
(a u a
0
) = o ∈ D ⇔ D = B
D
a D
a
A /'
H
−
∪ ∩
[A]
def
= [¬ A], [A] ∪ [B]
def
= [¬A
¡
¢
B], [A] ∩ [B]
def
= [¬(A
¡
¢
¬B)].
3. Ìåòàòåîðèÿ ÈÂ H                                              67


Îïðåäåëåíèå 2.5. Ôèëüòðîì áóëåâîé ñòðóêòóðû h B, t, u, 0 , v, o, ι i
íàçûâàåòñÿ íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî D ⊆ B , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâè-
ÿì:
     F 1. a ∈ D, a v b ⇒ b ∈ D ;
     F 2. a, b ∈ D ⇒ (a u b) ∈ D .
   Ïðè D 6= B ôèëüòð íàçûâàþò íåñîáñòâåííûì . Ôèëüòð D áóëåâîé
ñòðóêòóðû B íàçûâàåòñÿ óëüòðàôèëüòðîì , åñëè
     F 3. a ∈ B ⇒ a ∈ D èëè a 0 ∈ D ;
ïðîñòûì , åñëè
     F 4. (a t b) ∈ D ⇒ a ∈ D èëè b ∈ D ;
è ìàêñèìàëüíûì , åñëè
      F 5. îí íå ñîäåðæèòñÿ íè â êàêîì äðóãîì íåñîáñòâåííîì ôèëüòðå
     ñòðóêòóðû B .

   Â ñèëó (2.1) ñâîéñòâî F 1 ýêâèâàëåíòíî ñâîéñòâó
     F 10 . a ∈ D, b ∈ B ⇒ a t b ∈ D .
Êðîìå òîãî,
     F 6. a ∈ D ⇒ a 0 6∈ D
ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèåì íåñîáñòâåííîñòè ôèëüòðà, âåäü èíà÷å
(a u a 0 ) = o ∈ D ⇔ D = B .
    Äëÿ ôèëüòðà áóëåâîé àëãåáðû ñâîéñòâà áûòü óëüòðàôèëüòðîì, ïðî-
ñòûì èëè ìàêñèìàëüíûì ýêâèâàëåíòíû. Ýòî, â ÷àñòíîñòè, îçíà÷àåò, ÷òî
óëüòðàôèëüòð åñòü íåñîáñòâåííûé ôèëüòð áóëåâîé àëãåáðû. Èñïîëüçóÿ
àêñèîìó âûáîðà, ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîé ôèëüòð ñîäåðæèòñÿ
â íåêîòîðîì óëüòðàôèëüòðå [5, 17].
Îïðåäåëåíèå 2.6. Åñëè ëþáîé ýëåìåíò ôèëüòðà D ñîäåðæèò íåêî-
òîðûé ýëåìåíò a, òî ãîâîðÿò, ÷òî D  ãëàâíûé ôèëüòð, ïîðîæä¼íûé
ýëåìåíòîì a.

Àëãåáðà ËèíäåíáàóìàÒàðñêîãî.           Íà ôàêòîðìíîæåñòâå A / '
êëàññîâ äåäóêòèâíî ýêâèâàëåíòíûõ ôîðìóë ÈÂ H çàäàäèì îïåðàöèè
äîïîëíåíèÿ (− ), îáúåäèíåíèÿ (∪) è ïåðåñå÷åíèÿ (∩) ïî ïðàâèëàì
     def                   def   ¡                 def    ¡
  [A] = [¬ A],   [A] ∪ [B] = [¬A ¢ B],   [A] ∩ [B] = [¬(A ¢ ¬B)].

Страницы