Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

[A] ∪ [B] = [A ∨ B], [A] ∩ [B] = [A N B].
B
¡
¢
C ' ¬¬B
¡
¢
C = ¬B ∨C
[B
¡
¢
C] = [¬B ∨ C] = [B] ∪ [C].
H T
F T F A /'
∪ ∩
[A] ∪ F = [A] ∩ T = [A]
[A] ∪ [A] = T [A] ∩ [A] = F
h A /', ∪, ∩,
−
, F, T i
F T
6 A /'
[A] 6 [B]
def
= [A] ∩ [B] = [A]
h A /', ∪, ∩,
−
, 6, F, T i 6
H
L
∗
A
2
(x, y)
x y
A
2
L
∗
2
= A
2
/'
E = { [¬ (y
¡
¢
x)], [y], [¬ (x ≡ y)], [¬ x], [x ∨ y], [x
¡
¢
y], [¬ (x N y)], T } .
E L
∗
2
[¬ (y
¡
¢
x)]
68           Ãëàâà 2. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ãèëüáåðòîâñêèå ÈÂ


Òàêèì îáðàçîì, ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîêðàùåíèé D1 è D2 èìååì

               [A] ∪ [B] = [A ∨ B],      [A] ∩ [B] = [A N B].

 ÷àñòíîñòè, èñïîëüçóÿ òåîðåìó 2.4 î çàìåíå äåäóêòèâíî ýêâèâàëåíò-
                                  ¡            ¡
íûõ è ñîêðàùåíèå D1, ïîëó÷àåì B ¢ C ' ¬¬B ¢ C = ¬B ∨ C , îòêóäà
                        ¡
                     [B ¢ C] = [¬B ∨ C] = [B] ∪ [C].                       (2.2)

   Ìíîæåñòâî âñåõ òåîðåì È H áóäåì îáîçíà÷àòü T , à ìíîæåñòâî
èõ îòðèöàíèé  F . Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî T è F  êëàññû èç A / ',
à ââåä¼ííûå îïåðàöèè èìåþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
     ˆ îïåðàöèè ∪ è ∩ êîììóòàòèâíû è âçàèìíî äèñòðèáóòèâíû;
     ˆ âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ [A] ∪ F = [A] ∩ T = [A];
     ˆ ñïðàâåäëèâû çàêîíû [A] ∪ [A] = T è [A] ∩ [A] = F .
   Óêàçàííîå îçíà÷àåò, ÷òî ñòðóêòóðà h A / ', ∪, ∩, − , F, T i ÿâëÿåòñÿ
áóëåâîé àëãåáðîé ñ íóë¼ì F è åäèíèöåé T , êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ àëãåá-
ðîé ËèíäåíáàóìàÒàðñêîãî.
   Ââåäåíèåì îòíîøåíèÿ 6 (¾... ñîäåðæèòñÿ â...¿) íà ýëåìåíòàõ A / '
ïî ïðàâèëó
                                   def
                       [A] 6 [B] = [A] ∩ [B] = [A]
àëãåáðà ËèíäåíáàóìàÒàðñêîãî ïðåâðàùàåòñÿ â áóëåâó ñòðóêòóðó
h A / ', ∪, ∩, − , 6, F, T i. Ïîíÿòíî, ÷òî 6 åñòü îòíîøåíèå ÷àñòè÷íîãî
ïîðÿäêà íà ìíîæåñòâå êëàññîâ äåäóêòèâíî ýêâèâàëåíòíûõ ôîðìóë ÈÂ
H . Ïîëó÷åííóþ àëãåáðó ËèíäåíáàóìàÒàðñêîãî èëè ñîîòâåòñòâóþùóþ
ñòðóêòóðó ìû áóäåì îáîçíà÷àòü L∗ .
Ïðèìåð 2.4. Ïóñòü A2 (x, y)  ìíîæåñòâî ôîðìóë àëãåáðû ëîãèêè
íàä äâóìÿ ïðîïîçèöèîíàëüíûìè ïåðåìåííûìè x è y . Â ñèëó ñâîé-
ñòâà ñòðóêòóðíîñòè âûâîäèìîñòè óêàçàíèå íà èìåíà ïåðåìåííûõ ìîæ-
íî îïóñòèòü (ïðè äðóãèõ èìåíàõ ïåðåìåííûõ ôîðìóëû çàìåíÿòñÿ íà
ýêâèâàëåíòíûå èì êîíãðóýíòíûå) è ñîîòâåòñòâóþùåå ìíîæåñòâî îáî-
çíà÷àòü A2 . Äèàãðàììà Õàññå áóëåâîé ñòðóêòóðû L∗2 = A2 / ' ïðåä-
ñòàâëÿåò ñîáîé ÷åòûð¼õìåðíûé åäèíè÷íûé êóá.
   Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
            ¡                                           ¡
E = { [¬ (y ¢ x)], [y], [¬ (x ≡ y)], [¬ x], [x ∨ y], [x ¢ y], [¬ (x N y)], T } .

Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî E ÿâëÿåòñÿ óëüòðàôèëüòðîì íà L∗2 .
Íà ðèñ. 2.1 ïîêàçàíà åãî äèàãðàììà Õàññå. Ìû âèäèì, ÷òî ïîñòðîåí-
                                                           ¡
íûé óëüòðàôèëüòð  ãëàâíûé, ïîðîæä¼ííûé ýëåìåíòîì [¬ (y ¢ x)].

Страницы