Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H
T
( )
[ ¬(x N y) ]
( )
[ x ⊃ y ]
( )
[ x ∨ y ]
( )
[ ¬ x ]
( )
[ ¬(x ≡ y) ]
( )
[ y ]
( )
[¬(y ⊃ x)]
( )
[¬ (y
¡
¢
x)] L
∗
2
U
L
∗
U
ϕ
U
x [x] ∈ U
F 3
F 6 A
0
A
0
¬ A
0
U
A ∈ A
U L
∗
[A] ∈ U ⇔ |A|
ϕ
U
= . (∗)
ϕ
U
3. Ìåòàòåîðèÿ ÈÂ H                                                    69



                                    T

                            A A   (1111)

                      A A A
                    AA
     [ ¬(x N y) ]                 [x ⊃ y]                   [x ∨ y]
       (1110)
                         A   A    (1101)
                                                    A A A   (0111)

                     AAA                       AAA
                                                   A
        [¬x]
                AA              [ ¬(x ≡ y) ]                  [y]

                                                      AA
       (1100)                      (0110)                   (0101)

                                                   AA
                                 [¬(y ⊃ x)]
                                               AAA
                                   (0100)


Ðèñ. 2.1: Äèàãðàììà Õàññå óëüòðàôèëüòðà, ïîðîæä¼ííîãî ýëåìåíòîì
      ¡
[¬ (y ¢ x)] â àëãåáðå ËèíäåíáàóìàÒàðñêîãî L∗2 .


Òåîðåìà î ïîëíîòå ÈÂ Í. Ïóñòü U  ïðîèçâîëüíûé óëüòðà-
ôèëüòð íà àëãåáðå ËèíäåíáàóìàÒàðñêîãî L∗ . Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî U
çàäà¼ò èíòåðïðåòàöèþ ϕU , â êîòîðîé ïðîïîçèöèîíàëüíàÿ ïåðåìåííàÿ
x ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1, åñëè [x] ∈ U êàê àòîìàðíàÿ ôîðìóëà, è 0
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ êîððåêòíà: ñâîéñòâà F 3 è
F 6 ãàðàíòèðóþò, ÷òî ëþáàÿ àòîìàðíàÿ ôîðìóëà A0 ïîïàä¼ò â òîò èëè
èíîé êëàññ, ïðè÷¼ì A0 è ¬ A0 ïîïàäóò â ðàçíûå êëàññû. Ïðè ýòîì
îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ââåä¼ííîé èíòåðïðåòàöèè îöåíêó 1 ïðèíèìàþò èñ-
êëþ÷èòåëüíî ôîðìóëû èç êëàññîâ, ïðèíàäëåæàùèõ U , ò.å. ñïðàâåäëèâà

Ëåììà 2.3. Äëÿ ëþáîé ôîðìóëû A ∈ A è ïðîèçâîëüíîãî óëüòðàôèëü-
òðà U íà L∗ ñïðàâåäëèâî

                         [A] ∈ U ⇔ |A|ϕU = 1 .                        (∗)

Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåä¼ì ñ ïðèâëå÷åíèåì ïðèíöèïà èíäóêöèè ïî
ïîñòðîåíèþ ôîðìóëû. Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì îïóñêàòü èíäåêñ ϕU â îáî-
çíà÷åíèè âçÿòèÿ îöåíêè.

Страницы